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在微分几何中,一个三维空间中的二维曲面法曲率是衡量曲面上一点局部性质的几何不变量。这个概念可以推广到一般的微分流形上去。

概念[]

假设有(正则)曲面及其上一点,过这一点有曲面的一个单位法向量,另给定一个方向(是单位法向量),那么由确定一个平面以及其上的单位正交标架,这个平面称为曲面在这一点关于方向法截面,另外法截面和曲面的交线称为法截线。我们称法截线在点处的曲率为法曲率,记作法曲率有正负,它由标架决定。

从定义中便可知道法曲率(的绝对值)是一个几何不变量。

计算公式[]

假设切线由方向确定,那么法曲率有计算公式

如果切线,那么法曲率
平面的法曲率为零。

Weingarten 变换[]

Weingarten 变换是正则曲面上一点的切平面上的线性变换,它的定义为

它的特征值就是两个主曲率

主曲率[]

假设同定义,在一点的所有法曲率中,最小和最大的法曲率是存在的,我们称它们为主曲率,Euler 发现一个点处的任意方向的法曲率均可由主曲率表出,两个主曲率的乘积称为 Gauss 曲率;两个主曲率的算术平均值称为平均曲率

法曲率和主曲率的关系由 Euler 发现:沿着切方向的法曲率

其中是切方向和某个主方向的夹角,由此得到环绕公式:

假设曲面上固定点处的切方向与某一个选定的主方向的夹角,这个切方向的法曲率是,那么平均曲率

以及

正则曲面上某一点处两个相互正交的切方向的法曲率之和为常数。

Dupin 标线[]

假设同定义,在曲面上我们所考虑的点的切平面上做一条曲线,曲线的中心为且曲线上的点的距离为,这条曲线称为 Dupin 标线,曲线上离点越近的点对应的连线确定的方向上法曲率越大,曲面在这个方向上越弯曲。

可以证明 Dupin 标线是二次曲线,且方程为

按照二次曲线的形状我们可以对切点分类。

交线的法曲率[]

假设正则曲面交于一条正则曲线,这个曲线的曲率为。曲线在曲面上的法曲率分别是,曲面沿着的法向夹角为,那么

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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