求导法则

这里列出了一些常用的导数的求导法则。

导数的四则运算

$(f \pm g)' (x) = f'(x) \pm g'(x)$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$\begin{align} (f \pm g)' (x) & = f'(x) \pm g'(x) \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{(f(x + \Delta x) \pm g(x + \Delta x)) - (f(x) \pm g(x))}{\Delta x} \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = f'(x) \pm g'(x). \end{align}$

$(fg)' (x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$

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$\begin{align} (fg)' (x) & = ( f(x)g(x) )' \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) g(x + \Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) g(x + \Delta x) - f(x + \Delta x) g(x) + f(x + \Delta x) g(x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) \big( g(x + \Delta x) - g(x) \big)}{\Delta x} + \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x) \big( f(x + \Delta x) - f(x) \big)}{\Delta x} \\ & = f(x)g'(x) + f'(x)g(x). \end{align}$

如果 $g(x) \ne 0$，那么 $\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x) g'(x)}{g^2 (x)}$

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$\begin{align} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{\frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) g(x) - f(x) g(x + \Delta x)}{\Delta x ~ g(x) g(x + \Delta x)} \\ & = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x) g(x + \Delta x)}{\Delta x ~ g^2(x)} \\ & = \dfrac{g(x)}{g^2(x)} \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \dfrac{f(x)}{g^2(x)} \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ & = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}. \end{align}$

复合函数的导数

对于复合函数有链式求导原则，例函数 $f(g(x))$：
$f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$，亦即 $y'_x = y'_u \cdot u'_x$，亦即 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}u} \cdot \dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}$
其中 $y$ 是关于 $u$ 的函数，$u$ 是关于 $x$ 的函数。

下面我们来证明链式求导原则：

复合函数的链式求导原则：对于函数 $f(g(x))$：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。

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记 $y = g(x)$，首先我们考虑 $g(x) \ne g(x_0)$ 的情形（即在导数定义的极限过程中不可能有无限个点处的函数值等于 $g(x_0)$），由定义式，并由于 $g(x)$ 是连续的。我们可以做如下拆分：

$$(f(g(x_0)))' = \lim _{x \to x_0} \dfrac{f(g(x)) - f(g(x_0)}{x - x_0} = \lim _{y \to y_0} \dfrac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0} \cdot \lim _{x \to x_0} \dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}.$$

等式右面都是有意义的，因此我们可以进一步化简，得到

$$(f(g(x_0)))' = f'(y_0) \cdot g'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0).$$

但是如果在导数定义的极限过程中有无限个点处的函数值等于 $g(x_0)$，即 $g(x) = g(x_0)$。我们就不能作上述拆分，但我们可以这样证明：
做辅助函数 $h(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0}, \quad y \ne y_0 \\ f'(y_0) , \quad y = y_0 \end{cases}$
由于 $\lim _{y \to y_0} h(y) = \lim _{y \to y_0} \dfrac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0} = f'(y_0)$，所以 $h(y)$ 连续于 $y_0$ 点，由复合函数连续性有

$$\lim _{x \to x_0} h(g(x)) = h(y_0) = h(g(x_0)).$$

进而，可以得到

$$(f(g(x_0)))' = \lim _{x \to x_0} \dfrac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = \lim _{x \to x_0} h(g(x)) \cdot \lim _{x \to x_0} \dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0).$$

综上，我们就证明了链式原则。

多次使用链式求导原则，我们可以很容易地求出更为复杂的函数的导数，例如

$$(h(g(f(x))))' = h'(g(f(x))) \cdot g'(f(x)) \cdot f'(x).$$

以下反函数、参数方程以及隐函数的求导法则也是基于复合函数的求导法则。

反函数的导数

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可导，在 $x_0$ 点一个邻域内严格单调，且 $f'(x_0) \ne 0$ 。设 $y_0 = f(x_0)$，则反函数在 $y_0$ 点可导且

$$(f^{-1})' (y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.$$

参数方程的导数

对于由参数方程确定的函数

$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t). \end{cases}$

$\quad t \in X$

它的导数按这样的方法计算得出：$y'(x) = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}.$

例如，椭圆

$\begin{cases} x = a \cos \theta, \\ y = b \sin \theta. \end{cases}$

$\quad \theta \in [0, 2 \pi], a, b > 0$

它的导数 $y'(x) = \dfrac{y'(t)}{x'(t)} = \dfrac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\dfrac{b}{a} \cot \theta.$

隐函数的导数

如果方程 $F(x, y) = 0$ 可以确定一个隐函数，那么它的导数求法就是将因变量 $y$ 依旧视作关于 $x$ 的函数，式子两端同时对 $x$ 求导，最后反表示出 $y'(x)$ 即可。

例如开普勒方程 $x = y - \varepsilon \sin y$（$\varepsilon \in (0, 1)$）。
等式 $x = y(x) - \varepsilon \sin y(x)$ 两边对 $x$ 求导，即 $1 = y'(x) - \varepsilon y'(x) \cos y(x)$，反解出 $y'(x) = \dfrac{1}{1 - \varepsilon \cos y}.$

相关章节

• 上一节：基本初等函数的导数
• 下一节：高阶导数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.