比值判别法

分析中正项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$的敛散性判别法有很多种，其中一大类是利用$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$的极限行为来判断级数收敛或发散的，我们将这类方法统称为比值判别法，或检比法，最常见的比值判别法就是 d' Alembert 判别法。

内容

我们将一些常见的比值判别法整理为如下表格，简明扼要。以下总假设我们考虑的级数是正项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$

名称	条件	收敛情形	发散情形
d' Alembert 判别法	$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}} = k$	$k > 1$	$k < 1$
Raabe 判别法	$\lim_{n \to \infty} n \left( \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}} - 1 \right) = k$
Bertrand 判别法	$\lim_{n \to \infty} \ln n \left[ n \left( \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right] = k$
Gauss 判别法	$\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1 + \dfrac{k}{n} + O\left( \dfrac{1}{n^{1+\varepsilon}} \right), \varepsilon > 0$		$k \leqslant 1$

比值判别法必须要求当$n$很大时通项$a_n$要有单调性，否则极限就不会存在。在这一点上与之相对的对数判别法则要更宽松一些。

需要指出，上述收敛判别法也可推广到 复数项级数中去，这里要将比值改写为$\left| \dfrac{z_n}{z_{n+1}} \right|$，对应的结论只能在$k > 1$的时候判断为绝对收敛，而在$k < 1$的时候不能确定敛散性。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.