母函數

母函數（generating function）是將離散點列和冪級數聯繫起來的工具，是一種常用的數學變換。

數列的母函數

設有數列$\{ a_n \}_{n=0}^\infty$，則下列級數若存在時 $$A(s) = \sum_{n=0}^\infty a_n s^n$$ 為它的一個母函數。

顯然上式是一種冪級數，它至少在$s=0$處有定義，若收斂半徑$R = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ne 0$，則$A(s)$的定義域至少是$(-R, R).$

它和數列中各項的關係是 $$a_m = \dfrac{1}{m!}A^{(m)} (0), \forall m \in \N^+.$$

離散型隨機變量

在概率論中，如果一個整值離散型隨機變量的分布列為 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline X & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots \\ \hline P\{X = i\} & p_0 & p_1 & p_2 & \cdots & p_i & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 我們當然可以認為$p_n$是關於$n$的一個數列，所以定義它的母函數為 $$A(s) = \sum_{n=0}^\infty p_n s^n$$ 注意到$A(1) = \sum_{n=1}^n p_n = 1$，所以上式定義的收斂域至少是$[-1, 1].$上述定義等價於 $$A(s) = E(s^X).$$ 常見概率分布的母函數件概率分布/其它數字特徵。

導出矩

利用母函數可以導出各階矩，例如，對於數學期望，由於 $$A'(s) = \sum_{n=1}^\infty n p_n s^{n-1}.$$ 因此，當數學期望存在時，就是$E(X) = A'(1).$而當數學期望不存在時，有$\lim_{s \to 1^-} A'(s)$不存在。

方差存在時$D(s) = A''(1) + A'(1) - [A'(1)]^2.$

$k$階矩存在，當且僅當$\lim_{s \to 1^-} A^{(k)} (s)$存在。求$k$階矩時可以使用遞推。

性質

1. 母函數和概率分布一一對應；
2. 設$X_i,i=1,2,\cdots,n$是相互獨立的整值隨機變量，它們的母函數分別是$A_i (s)$，那麼$\sum_{i=1}^n X_i$的母函數是$\prod_{i=1}^n A_i (s)$，特別地，如果$X_i,i=1,2,\cdots,n$是獨立同分布的，那麼$\sum_{i=1}^n X_i$的母函數是$A_i^n (s)$；
3. 設$X_i,i=1,2,\cdots,n$是獨立同分布的整值隨機變量，設它們的母函數為$A_i (s)$是，另一取整值$\{0,1,\cdots,n\}$的隨機變量$Y$與$X_i$獨立，設它的母函數為$B(t)$，那麼隨機變量$\sum_{i=1}^Y X_i$的母函數為$B(A(s)).$

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.