母函数

母函数（generating function）是将离散点列和幂级数联系起来的工具，是一种常用的数学变换。

数列的母函数

设有数列$\{ a_n \}_{n=0}^\infty$，则下列级数若存在时

$$A(s) = \sum_{n=0}^\infty a_n s^n$$

为它的一个母函数。

显然上式是一种幂级数，它至少在$s=0$处有定义，若收敛半径$R = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ne 0$，则$A(s)$的定义域至少是$(-R, R).$

它和数列中各项的关系是

$$a_m = \dfrac{1}{m!}A^{(m)} (0), \forall m \in \N^+.$$

离散型随机变量

在概率论中，如果一个整值离散型随机变量的分布列为

$$\begin{array}{c|ccccc} \hline X & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots \\ \hline P\{X = i\} & p_0 & p_1 & p_2 & \cdots & p_i & \cdots \\ \hline \end{array}$$

我们当然可以认为$p_n$是关于$n$的一个数列，所以定义它的母函数为

$$A(s) = \sum_{n=0}^\infty p_n s^n$$

注意到$A(1) = \sum_{n=1}^n p_n = 1$，所以上式定义的收敛域至少是$[-1, 1].$上述定义等价于

$$A(s) = E(s^X).$$

常见概率分布的母函数件概率分布/其它数字特征。

导出矩

利用母函数可以导出各阶矩，例如，对于数学期望，由于

$$A'(s) = \sum_{n=1}^\infty n p_n s^{n-1}.$$

因此，当数学期望存在时，就是$E(X) = A'(1).$而当数学期望不存在时，有$\lim_{s \to 1^-} A'(s)$不存在。

方差存在时$D(s) = A''(1) + A'(1) - [A'(1)]^2.$

$k$阶矩存在，当且仅当$\lim_{s \to 1^-} A^{(k)} (s)$存在。求$k$阶矩时可以使用递推。

性质

1. 母函数和概率分布一一对应；
2. 设$X_i,i=1,2,\cdots,n$是相互独立的整值随机变量，它们的母函数分别是$A_i (s)$，那么$\sum_{i=1}^n X_i$的母函数是$\prod_{i=1}^n A_i (s)$，特别地，如果$X_i,i=1,2,\cdots,n$是独立同分布的，那么$\sum_{i=1}^n X_i$的母函数是$A_i^n (s)$；
3. 设$X_i,i=1,2,\cdots,n$是独立同分布的整值随机变量，设它们的母函数为$A_i (s)$是，另一取整值$\{0,1,\cdots,n\}$的随机变量$Y$与$X_i$独立，设它的母函数为$B(t)$，那么随机变量$\sum_{i=1}^Y X_i$的母函数为$B(A(s)).$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.