正规矩阵

在矩阵论中，正规矩阵是酉矩阵、Hermite 矩阵的推广，它是一类自身与其共轭转置可交换的矩阵。

概念

设有矩阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$满足$A^\text{H} A = A A^\text{H}$，其中$A^{\text{H}}$是$A$的共轭转置，我们就说$A$是正规矩阵，酉矩阵、 Hermite 矩阵和斜 Hermite 矩阵都是正规矩阵。

正规矩阵并不是酉矩阵、 Hermite 矩阵和斜 Hermite 矩阵的简单作并集，存在着一些正规矩阵，它不是以上三种类型的矩阵，例如$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

等价刻画

设一个矩阵$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$的特征根为$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$，则它是正规矩阵当且仅当以下某一条成立

1. 存在酉矩阵$U$，使得$U^\text{H} A U$是对角矩阵。
2. 该矩阵的 Frobenius 范数为$\| A \|_F = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\lambda_k|^2}.$
3. 存在该矩阵的$n$个特征向量，使其组成一标准正交基。
4. $A$可以和一个具有互异特征值的正规矩阵可交换。
5. $A$的 HS 分裂：$H = \dfrac{1}{2} (A + A^\text{H}), S = \dfrac{1}{2} (A - A^\text{H})$可交换。
6. 存在酉矩阵$U$，使得$A^\text{H} = AU.$
7. $\exists a \in \C$，$A + a E$是正规矩阵。
8. 存在一次数不大于$n-1$的多项式$p(x) \in \C[x]$，使得$A^\text{H} = p(A).$
9. （距离性质）$\forall x \in \C^n$，$\| Ax \|_2 = \| A^\text{H} x \|_2.$
10. （角度性质）$\forall x, y \in \C^n, (Ax, Ay) = (A^\text{H}x, A^\text{H}y), (,)$是普通内积。

性质

设一个矩阵$A, B \in \C^{n \times n}$是正规矩阵，$A$的特征根为$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。

1. $A$的代数重数和几何重数相等。
2. $A x = \lambda_i x \iff x^\text{H} A = \lambda_i x^\text{H}.$
3. 不同特征值对应的特征向量彼此正交。
4. 若$AB = BA$，那么存在酉矩阵$U$，使得$U^\text{H} A U$和$U^\text{H} B U$同时是对角矩阵。
5. $A$是酉矩阵当且仅当所有特征值的模为一。
6. $A$是 Hermite 矩阵当且仅当所有特征值都是实数。
7. $A$是斜 Hermite 矩阵当且仅当所有特征值都是纯虚数。
8. $AB = BA$时$AB$也是正规矩阵，不交换时不一定成立该性质。
9. 设$p(x) \in \C[x]$，那么$p(A)$是正规矩阵。
10. $A^2 = O \iff A = O.$

实正规矩阵

当$A \in \R^{n \times n}$是正规矩阵时，有很多更好的性质，详见实正规矩阵。

参考资料

1. Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN 978-0-5215-4823-6.