正規子群

在群論中，正規子群（normal subgroup）是一個重要的概念，它是群範疇中的某種汎對象。

定義

對於任意群$G$而言，稱其子群$N$是一個正規子群，如果$\forall a \in G, \forall n \in N$有 $$a n a^{-1} \in N.$$ 對於一個群$G$，不一定所有的子群都是正規子群（平凡群$\{ e \}$一定是），但是交換群的子群都是正規的；此外，也存在不交換的群，它的子群都是正規子群。

但是若$H$是$K$的正規子群，$K$是$G$的正規子群，不一定有$H$是$G$的正規子群。

如果$\varphi: G \to G'$是一個群同態，那麽$\operatorname{Ker} \varphi$是$G$的正規子群。

陪集

我們可以引入群的左右陪集概念。稱如下對於群$G$的集合$aH, Ha$為群$G$的左陪集與右陪集： $$\begin{align} aH := \{ h \in G | \exists x \in H, h = a x \}, \\ Ha := \{ h \in G | \exists x \in H, h = x a \}. \end{align}$$ 這樣正規子群的條件#C1可替換為$\forall a \in G, xNx^{-1} \subseteq N$，$aH \subseteq Ha$或$aH = Ha$，其中$x^{-1}$是$x$在$G$的逆元，意即對$N$而言，其任意左陪集與相對應的右陪集恆等。

雖若$N$是正規子群，即對於任意$G$的元素$a$而言，有$aN = Na$，但這不表示對於任意$N$中的元素$b$而言，有$ab = ba$，也就是說，即使N是G正規子群，也不能推出$N$中的任意元素對$G$中的任意元素具有交換律。實際上，對於$n \in N$，存在的是（一般來説是兩個不同于$n$）$n_1 \in N$，使得$g n = n_1 g.$

性質

1. 如果$K$是$G$的子群，$N$是$G$的正規子群，那麽$N$在$\langle N \cup K \rangle$中正規，且$NK = KN = \langle N \cup K \rangle.$
2. 若$\{ H_i \}_{i \in I}$是$G$的正規子群族（有限或無限個），那麽交集$\bigcap_{i \in I} H_i$是$G$的正規子群。
3. 若$H, K$是$G$的正規子群，那麽$\langle H \cup K \rangle$是$G$的正規子群。上兩條説明了$G$的所有正規子群組成了一個完備格。
4. 設$G$有子群$H$，若指標$[G: H] = 2$則$H$是$G$的正規子群。
5. 設$H, K$是滿足條件$H \cap K = \{ e \}$的$G$的子群，如果$H, K$是正規的，那麽$HK$是可交換的，但反之未必成立。
6. 在群$G$中若存在$n \in \mathbb{N}^+$使得對任意$a, b \in G, (ab)^n = a^n b^n$，那麽$H^n := \{ a^n | a \in G \}$是$G$的正規子群。
7. 設$f$是$G$到$G'$的群同態，那麽若$H$是$G$的正規子群，則$f(H)$是$f(G)$的正規子群，儅$f$是同構時$f(H)$是$G'$的正規子群。
8. 假設$H$是有限群$G$的$n$階子群，且$G$的$n$階子群僅有$H$一個，那麽$H$在$G$中正規。
9. 如果$H$是$G$的循環正規子群，那麽$H$的子群在$G$中正規。
10. 如果$N_1, N_2$分別在$G_1, G_2$中正規，那麽$N_1 \times N_2$在$G_1 \times G_2$中正規，且$(G_1 \times G_2) / (N_1 \times N_2) \cong (G_1 / N_1) \times (G_2 / N_2).$
11. 如果$N, K$在$G$中正規，且$G = \langle N \cup K \rangle, N \cap K = \{ e \}$，那麽$G/N \cong K.$
12. 如果$f: G \to H$是群同態且$H$是交換群，那麽$G$的包含$\ker f$的子群是$G$的正規子群。
13. 如果$f: G \to H$是群同態且$K$是$G$的子群，那麽$f^{-1}(f(K)) = KN.$
14. 如果$N$是$G$的正規子群，$[G: N]$有限，$H$是$G$的子群，且$|H|$和$[G: N]$互素，那麽$H$是$N$的子群。
15. 如果$G$包含一个有限指数的真子群，那么$G$一定包含一个有限指数的真正规子群。

特徵子群

設有群$G$，$H$是$G$的子群，若對任意的自同構$f: G \to G$，都有$f(H) = H$，我們就稱$H$是$G$的特徵子群（characteristic group）。它一定是$G$的正規子群，但反之未必。

單群

主條目：單群

若對於一個群$G$而言，除了$G$自身與僅由單位元構成的子群$\{ e \}$之外，沒有其他的正規子群的話，那$G$即是所謂的單群，若$G$是單群，且是元素數有限的交換群，則$G$必是質數階(即元素個數為質數)的循環群，這很容易證明，但除此之外，要分類所有的單群，是個極為困難的工作，然而此工作目前已告一段落。

極大正規子群

假設$N(G)$是$G$的所有正規子群的集合，其上可以定義偏序關係由群的包含所構成的偏序關係，子群對應定理指出：以特定$G$的正規子群$N$為正規子群的所有$G$的子群，和$G/N$的子群可以建立一個一一對應，進一步，$G/N$的子群$K/N$是正規的當且僅當$K$在$G$中是正規的。這樣，$G/N$是單群當且僅當$K = N$，或者$K = G$，這時我們也稱$N$是$G$的極大正規子群，因爲他是正規子群偏序集中的極大元。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.