正螺面

正螺面（hericoid）是空間解析幾何中的一種直紋面，它是不可展的旋轉曲面。它是一條直線繞另一條與它垂直的直線勻速旋轉同時沿直線勻速滑動形成的軌跡。

方程

假設$l_1$在$x$軸上且我們考慮區間$I$上的一部分，另有一條直線$l_2$在$z$軸上，那麼$l_1$繞$l_2$以角速度$\omega \ne 0$勻速旋轉同時以$a>0$的速度在$l_2$上滑動形成的軌跡方程為 $$\boldsymbol{r}(u, v) = (u \cos \omega v, u \sin \omega v, av), \quad u \in I.$$ 它是直紋面，因為可以分離為 $$\begin{align} \boldsymbol{r}(u, v) &= (0, 0, av) + u (\cos \omega v, \sin \omega v, 0) \\ &=: \boldsymbol{a}(v) + u \boldsymbol{b}(v). \end{align}$$

極小曲面

它是極小曲面，即平均曲率為零，證明如下：不妨假設$\omega > 0, u > 0$，$E, F, G$和$L,M,N$分別是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式對應的係數，那麼 $$\begin{align} \boldsymbol{r}_u &= (\cos \omega v, \sin \omega v, 0), \\ \boldsymbol{r}_v &= (-\omega u \sin \omega v, \omega u \cos \omega v, a), \\ \boldsymbol{r}_{uu} &= (0, 0, 0), \\ \boldsymbol{r}_{uv} &= (-\omega \sin \omega v, \omega \cos \omega v, 0), \\ \boldsymbol{r}_{vv} &= (-\omega^2 u \cos \omega v, - \omega^2 u \sin \omega v, 0). \\ E &= 1, \quad F = 0, \quad G = a^2 + \omega^2 u^2. \\ L &= \dfrac{(\boldsymbol{r}_{uu}, \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}} = 0, \\ M &= \dfrac{(\boldsymbol{r}_{uv}, \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}} = - \dfrac{\omega a}{\sqrt{a^2 + \omega^2 u^2}}, \\ N &= \dfrac{(\boldsymbol{r}_{vv}, \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}} = 0. \end{align}$$ 因此，平均曲率 $$H = \dfrac{1}{2} \dfrac{LG - 2 MF + NE}{EG - F^2} = 0.$$ 實際上，直紋極小曲面只有平面和正螺面。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.