正测度集

正测度集，简称正测集，是指在 Lebesgue 测度下测度为正数的可测集。可测集除了零测集外就是正测集，这类点集和矩体有着紧密的关系。

和矩体的关系

设点集$E$是$\R^n$上正测集，$0 < \lambda < 1$，那么存在一个矩体$I$使得

$$\lambda |I| \leqslant m(I \cap E).$$

这说明，可测集$E$的很大一部分区域都被一个矩体所控制，相交部分之外的点很少。

Steinhaus 定理

对于$\R^n$上的正测集$E$而言，总存在$\delta_0 > 0$使得

$$B(0, \delta_0) \subset \{ x - y: x, y \in E \}.$$

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.