在平面幾何中，正弦定理是有關三角形的一個基本定理。
假設有 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ，其中角 A , B , C {\displaystyle A, B, C} 對應的邊分別為 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，並假設該三角形的外接圓半徑為 R {\displaystyle R} ，那麼有 a sin A = b sin B = c sin C = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.}
不失一般性，僅證明 a sin A = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = 2R.}
當 ∠ {\displaystyle \angle} 是直角時顯然成立。當 ∠ {\displaystyle \angle} 是銳角時，假設外接圓的圓心為 O {\displaystyle O} ，連接 O B , O C {\displaystyle OB, OC} ，取 B C {\displaystyle BC} 中點為 D {\displaystyle D} ，連接 O D . {\displaystyle OD.}
因為 O B = O C {\displaystyle OB = OC} ，由等腰三角形 △ O B C {\displaystyle \triangle OBC} 的三線合一性質易得 O D {\displaystyle OD} 是 ∠ B O C {\displaystyle \angle BOC} 的角平分線，同時也是高線，因此在直角三角形 O B D {\displaystyle OBD} 中， sin ∠ B O D = B D B O = a 2 R {\displaystyle \sin \angle BOD = \dfrac{BD}{BO} = \dfrac{a}{2R}} ，同時 ∠ B O D = 1 2 ∠ B O C . {\displaystyle \angle BOD = \dfrac{1}{2} \angle BOC.}
由於 A {\displaystyle A} 在以 B C {\displaystyle BC} 為弦的圓 O {\displaystyle O} 上，由圓的圓心角是圓周角之倍這一性質可得 ∠ A = 1 2 ∠ B O C . {\displaystyle \angle A = \dfrac{1}{2} \angle BOC.}
綜上， sin A = sin ∠ B O D = a 2 R {\displaystyle \sin A = \sin \angle BOD = \dfrac{a}{2R}} ，也即 a sin A = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = 2R.}
當 ∠ A {\displaystyle \angle A} 是鈍角時，僅需注意到 sin A = sin ( π − A ) {\displaystyle \sin A = \sin(\pi - A)} 這一事實即可。
，其中角
對應的邊分別為
，並假設該三角形的外接圓半徑為
，那麼有
是直角時顯然成立。當是銳角時，假設外接圓的圓心為
，連接
，取
中點為
，連接
，由等腰三角形
的三線合一性質易得
是
的角平分線，同時也是高線，因此在直角三角形
中，
，同時
在以為弦的圓上，由圓的圓心角是圓周角之倍這一性質可得
，也即
是鈍角時，僅需注意到
這一事實即可。
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