在平面几何中，正弦定理是有关三角形的一个基本定理。
假设有 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ，其中角 A , B , C {\displaystyle A, B, C} 对应的边分别为 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，并假设该三角形的外接圆半径为 R {\displaystyle R} ，那么有 a sin A = b sin B = c sin C = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.}
不失一般性，仅证明 a sin A = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = 2R.}
当 ∠ {\displaystyle \angle} 是直角时显然成立。当 ∠ {\displaystyle \angle} 是锐角时，假设外接圆的圆心为 O {\displaystyle O} ，连接 O B , O C {\displaystyle OB, OC} ，取 B C {\displaystyle BC} 中点为 D {\displaystyle D} ，连接 O D . {\displaystyle OD.}
因为 O B = O C {\displaystyle OB = OC} ，由等腰三角形 △ O B C {\displaystyle \triangle OBC} 的三线合一性质易得 O D {\displaystyle OD} 是 ∠ B O C {\displaystyle \angle BOC} 的角平分线，同时也是高线，因此在直角三角形 O B D {\displaystyle OBD} 中， sin ∠ B O D = B D B O = a 2 R {\displaystyle \sin \angle BOD = \dfrac{BD}{BO} = \dfrac{a}{2R}} ，同时 ∠ B O D = 1 2 ∠ B O C . {\displaystyle \angle BOD = \dfrac{1}{2} \angle BOC.}
由于 A {\displaystyle A} 在以 B C {\displaystyle BC} 为弦的圆 O {\displaystyle O} 上，由圆的圆心角是圆周角之倍这一性质可得 ∠ A = 1 2 ∠ B O C . {\displaystyle \angle A = \dfrac{1}{2} \angle BOC.}
综上， sin A = sin ∠ B O D = a 2 R {\displaystyle \sin A = \sin \angle BOD = \dfrac{a}{2R}} ，也即 a sin A = 2 R . {\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = 2R.}
当 ∠ A {\displaystyle \angle A} 是钝角时，仅需注意到 sin A = sin ( π − A ) {\displaystyle \sin A = \sin(\pi - A)} 这一事实即可。
，其中角
对应的边分别为
，并假设该三角形的外接圆半径为
，那么有
是直角时显然成立。当是锐角时，假设外接圆的圆心为
，连接
，取
中点为
，连接
，由等腰三角形
的三线合一性质易得
是
的角平分线，同时也是高线，因此在直角三角形
中，
，同时
在以为弦的圆上，由圆的圆心角是圆周角之倍这一性质可得
，也即
是钝角时，仅需注意到
这一事实即可。
中文数学 Wiki
