正弦

正弦（sine、$\sin$）是一种基本初等函数，是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是$[-1, 1]$。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。代表正弦的符号$\sin$最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义

直角三角形定义

直角三角形定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦可以定义为这个角所对的边的长度与直角三角形斜边的长度的比值。由此可知锐角的正弦值域为$(0, 1)$。其定义与余割函数互为倒数。

$\sin A = \dfrac{a}{c}$

平面直角坐标定义

平面直角坐标系定义

设$\theta$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right )$是角的终边上一点，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原点O的距离，则$\theta$的正弦定义为：

$\sin \theta = \dfrac{y}{r}$

单位圆定义

在平面坐标系中，有一个以原点$O$为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同$x$轴正半部分得到一个角$\theta$（逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交。这个交点的$y$坐标等于$\sin \theta$。

级数定义

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

微分定义

$y''=-y, \, y(0)=0,\,y'(0)=1$

指数定义

正弦函数的指数定义可由 Euler 公式导出：

$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$

关系式

用其它三角函数表示

说明：以第一象限角为例，注意其余象限角的符号处理。

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\csc \theta}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$

和差公式

1. $\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$
2. $\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y$

倍半角公式

1. （二倍角公式）$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\,$
2. （三倍角公式）$\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$
3. （第二类切比雪夫多项式）

   $\begin{align} \sin n\theta & = \displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta \sin^{n-k} \theta \sin\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right]} \\ & = \displaystyle{\sin \theta \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}(-1)^k \binom{n-1-k}{k} (2\cos \theta)^{n-1-2k}}. \end{align}$

4. （半角公式）$\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.$

幂简约公式

1. $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
2. $\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$
3. $\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$
4. $\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}$
5. $\sin^n\theta = \begin{cases} \displaystyle{\frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \sin{[(n-2k)\theta]}}, & n \text{ is odd}, \\ \displaystyle{\frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\left(\frac{n}{2}-k\right)} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}}, & n \text{ is even}. \end{cases}$

和差化积与积化和差

1. $\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)$
2. $\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos\left({\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi\over 2}\right)$
3. $\sin\theta\sin\phi=-{\cos(\theta+\phi)-\cos(\theta-\phi)\over2}$

其他恒等式

1. 万能公式

   $\sin \alpha = \dfrac{{2 \tan \frac{\alpha}{2}}}{{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}}.$

2. 平方差公式
   1. （正弦平方差）$\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin(\alpha+\beta) \sin(\alpha-\beta).$
   2. （余正弦平方差）$\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta).$
3. Ptolemy 定理角元形式：如果$w + x + y + z = \pi$，那么

   $\begin{align} \sin w \sin y + \sin x \sin z &= \sin(w + x) \sin(x + y) \\ &= \sin(x + y) \sin(y + z) \\ &= \sin(y + z) \sin(z + w) \\ &= \sin(z + w) \sin(w + x) \end{align}$

4. 连乘公式
   1. $\prod_{k=0}^{n-1} \sin \left(x + \frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin nx}{2^{n-1}}.$
   2. $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k\pi}{ n } \right) = \frac{n}{2^{n-1}}.$
   3. $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k\pi}{2n } \right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.$
   4. $\prod_{k=1}^n \sin \left(\frac{k\pi}{2n+1} \right) = \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.$
5. 共轭 Dirichlet 核

   $\sum_{k=1}^n \sin kx = \dfrac{\cos \frac{x}{2} - \cos \left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}.$

三角形恒等式

三角形恒等式是三角形衍生出来的三角恒等式，限定$A, B, C \in [0, \pi]$且$A + B + C = \pi$，那么

1. $\sin(A+B) = \sin C.$
2. $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}.$
3. $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C.$

正弦定理

参见：正弦定理

拓展阅读

• 三角恒等式