正定算子

在算子理论中，正定算子（positive definite operator）是正定矩阵和正定二次型在一般的赋范线性空间中的推广。

定义

假设有赋范线性空间$X$，它的共轭空间记作$X^*$，如果线性算子$T: X \to X^*$满足 $$\langle Tx, x \rangle > 0, \quad \forall x \in X \setminus \{ 0 \},$$ 那么我们就称$T$是正定算子。

如果线性算子$T: X \to X^*$满足 $$\langle Tx, x \rangle \geqslant 0, \quad \forall x \in X,$$ 那么我们就称$T$是半正定算子。

如果$X$是 Hilbert 空间，那么取$T: X \mapsto X^*$是 Riesz 表示定理中的等距同构，这就是一个正定算子。

连续性

下面我们证明：Banach 空间上的正定算子是连续的。

假设$X$是 Banach 空间，$T: X \to X^*$是半正定的，那么它是连续的。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

按照闭图像定理，我们只要证明$T$是闭算子即可，任取$x_n \to x \in X$以及$Tx_n \to f \in Y$，我们要证明

1. $x \in D(T)$：因为$D(T) = X$而$X$是 Banach 空间，自然是闭的。
2. $f = Tx$：根据条件对任意的$y \in X$我们有$$\langle T(x_n-y), x_n-y \rangle \geqslant 0.$$取极限得到$$\langle f-Ty, x-y \rangle \geqslant 0.$$进一步令$y = x + z, z \in X$我们得到$$\langle f-Tx, z \rangle \leqslant \langle Tz, z \rangle.$$用$t^{-1} z~(t \ne 0)$代换$z$得到$$\langle f-Tx, z \rangle \leqslant \dfrac{1}{t} \langle Tz, z \rangle.$$令$t \to +\infty$我们得到$\langle f-Tx, z \rangle \leqslant 0$，用$-z$代上式中的$z$我们得到另一个不等号，于是对任意的$z \in X$都有$\langle f-Tx, z \rangle = 0$即$f = Tx.$

上述性质表明，不连续的线性算子在每个局部区域上的取值都是在实数轴上都是处处震荡无界的。

核空间性质

假设$T: X \to X^*$是 Banach 空间之间的正定算子，那么$N(T) \subset N(T^*).$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

注意到$N(T^*) \supset R(T)^\perp$（参见共轭算子#核空间和象空间的正交关系），我们只需证明$N(T) \subset R(T)^\perp.$取定$x \in N(T)$，我们有对任意$y \in X$

$$\langle T(x+ty), x+ty \rangle \geqslant 0, \quad \forall t \in \R.$$ 因此可以得到$\langle Ty, x \rangle = 0$这就表明$u \in R(T)^\perp.$

半序结构

一个 Hilbert 空间$H$上的所有半正定自伴算子全体构成的集合$\mathcal{P}$满足：

1. $\mathcal{P}$是$H$上的有界自伴算子全体$S(H)$中的闭凸子集（拓扑继承自$L(H)$上的算子拓扑）。
2. 若$\lambda \geqslant 0,A\in {\mathcal {P}}$，那么$\lambda A\in {\mathcal {P}}$。
3. 若$A\in {\mathcal {P}},-A\in {\mathcal {P}}$，那么$A=0.$

由此可知$\mathcal{P}$是$H$中的一个闭锥。下面的定理说明$\mathcal{P}$是再生锥：

假设$A$是 Hilbert 空间$H$上的有界自伴算子，那么存在两个$H$上的半正定算子$P,N$使得$A=P-N$且$PN=0$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

令$|A|=(A^{2})^{1/2}$（半正定算子的算术平方根总是存在且唯一的），那么可以令 $$P={\dfrac {1}{2}}(|A|+A),\quad N={\dfrac {1}{2}}(|A|-A).$$ 它们就是符合题意的分解，详细证明参见这里。

定义上述闭锥$\mathcal{P}$在$S(H)$中确定的半序： $$A\leqslant B\iff B-A\in {\mathcal {P}}.$$

进一步我们可以证明$\mathcal{P}$上存在某种单调收敛定理：

假设$\{A_{k}\}$是$H$上的相互可换的半正定自伴算子序列，且有一个序上界$B$（即$A_{k}\leqslant B$），且单调递增$A_{k}\leqslant A_{k+1}$对任意$k\in\mathbb{N}$都成立，且$B$和$A_k$都可换，那么$\{A_{k}\}$在算子拓扑的意义下有极限。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

参见L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.)[§7.3], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

这不能说明$\mathcal{P}$是一个正则锥，因为上述定理要求对易条件（可换性条件）成立。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.