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在线性代数中,实正定矩阵(positive defined matrix)是一类特殊的矩阵,关于复数域上的正定矩阵,参看复正定矩阵

定义[]

阶方阵是实正定矩阵,如果存在可逆矩阵,使得(合同于单位阵);同样,称阶方阵是实负定矩阵,如果存在可逆矩阵,使得

注意:在我们这种定义下实正定矩阵的先决条件一定是对称矩阵,有的教材会使用所有个特征根都是正的这一性质定义,二者在对称情形下是等价的,但是为了更广泛的应用(例如实二次型的表示矩阵),我们依然认为正定矩阵实在对称矩阵的前提下定义的,非对称的正定矩阵不仅没有实际价值,还会导致很多问题的唯一性质出现问题(例如二次型的表示矩阵可以有多种非对称的矩阵表示,他们之间是相似等价的)。

等价刻画[]

阶方阵是实正定矩阵,除了定义之外,这一命题还有以下等价表述

  1. 的所有个特征根都是正的;
  2. 的所有顺序主子式都大于零;
  3. 的所有主子式都大于零;
  4. 实二次型是正定的;
  5. 存在主对角线元素全为正数的三角阵,使
  6. 存在实矩阵,使

性质[]

以下设阶实正定矩阵:

  • 实正定矩阵一定是对称矩阵;
  • ,且是正定的;
  • ,那么是正定的;
  • 阶方阵正定当且仅当个特征根都是正的;
  • 正定当且仅当
  • ,等号取到当且仅当为对角阵;
  • 正定。

此外还有如下性质

  • 准对角矩阵正定当且仅当均正定;
  • 如果正定,那么存在正定矩阵以及正整数,使得
  • 是实对称矩阵,当实数充分大时,正定。
  • 是实对称正定矩阵,是实反对称矩阵,那么

极分解[]

任何一个可逆实矩阵都可以分解为一个正定矩阵与正交矩阵的乘积,这就是矩阵的极分解。

广义正定矩阵[]

也叫 Hermite 正定矩阵,参见复正定矩阵,设,若是一个 Hermite 矩阵),,那么称是广义正定矩阵,我们可以像正定矩阵那样建立上述等价刻画以及相应的性质。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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