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在诸多二次型中,有一类二次型有着更好的性质,那就是正定二次型,它是在实数域上定义的一种二次型。

概念[]

称一个实二次型是正定的,如果;同时,称一个实二次型是半正定的,如果;同样可以定义负定以及半负定的二次型。

可以证明,二次型称正定,当且仅当正定矩阵,当且仅当二次型的正惯性指数、秩以及元数都相等。

因此,正定矩阵的性质也被认为是正定二次型的性质,诸如正定二次型的规范形就是个新变元的平方和之类的性质。

内积[]

实际上,任何一个二次型在 Euclid 空间中给定一组基后与一个对称双线性函数相关,而二次型的矩阵就是这个双线性函数在该基底下的矩阵,它们都是将元向量映到一个实数的函数。因此,正定二次型就相当于在 Euclid 空间上定义了一个内积,因为它们有正定性。

应用[]

正因为正定二次型和正定矩阵有这样的关系,所以一些正定矩阵的证明也可以经由正定二次型的证明来完成,例如,正定矩阵有如下性质:

  • 阶实正定矩阵,那么矩阵正定;
  • 阶实正定矩阵,,那么矩阵正定。

上下节[]

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