正割

正割（Secant，$\sec$）是三角函数的一种。它的定义域不是整个实数集，值域是绝对值大于等于1的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。

语源

正割的数学符号为$\sec$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形定义

直角三角形定义

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

$\sec A = \frac {c}{b}\,\!$

其定义和余弦函数互为倒数。

平面直角坐标定义

设$\theta$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right )$是角的终边上一点，则$\theta$的正割定义为：

$\sec \theta = \frac{r}{x}$

单位圆定义

单位圆的两种定义

在平面坐标系中，有一个以原点为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$（逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交于A点。正切可以通过以下两种方式定义：

1. 记单位圆与x轴的交点为E，过E作垂直于x轴的直线，该直线于OA延长线交于一点P，则OP为该角正割的绝对值（一、四象限为正值；二、三象限为负值）。（图中蓝线）
2. 过A点做一直线，与单位圆相切，直线与x轴的交点记为F，OF即为该角度的正割值（一、四象限为正值；二、三象限为负值）。（图中绿线）

级数定义

$\sec x =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots \left( |x| < \frac {\pi} {2}\right)$

微分定义

$\sec 'x\ = \sec x\tan x$

$\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '$

指数定义

$\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$

恒等式

和差角公式

$\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}$

倍角公式

$\begin{align}\sec 2\theta &= \frac{\sec^2\theta}{1-\tan^2\theta} \\ &= \frac{\sec^2\theta}{2-\sec^2\theta}\end{align}$

$\sec 3\theta =\frac{\sec^3\theta}{4-3 \sec^2\theta}$

半角公式

$\sec \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta + 1}}$