在平面几何中，正切定理是三角形的一个定理。
设有 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ，角 A , B , C {\displaystyle A, B, C} 的对边分别为 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，那么 a − b a + b = tan A − B 2 tan A + B 2 , a − c a + c = tan A − C 2 tan A + C 2 , b − c b + c = tan B − C 2 tan B + C 2 . {\displaystyle \dfrac{a-b}{a+b} = \dfrac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}, \quad \dfrac{a-c}{a+c} = \dfrac{\tan \frac{A-C}{2}}{\tan \frac{A+C}{2}}, \quad \dfrac{b-c}{b+c} = \dfrac{\tan \frac{B-C}{2}}{\tan \frac{B+C}{2}}.}
不失一般性，仅证明 a − b a + b = tan A − B 2 tan A + B 2 . {\displaystyle \dfrac{a-b}{a+b} = \dfrac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}.}
由正弦定理以及积化和差公式可得 a − b a + b = sin A − sin B sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A − B 2 2 sin A − B 2 cos A + B 2 = tan A − B 2 tan A + B 2 . {\displaystyle \begin{align} \dfrac{a-b}{a+b} & = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} \\ & = \dfrac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2}} \\ & = \dfrac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}. \end{align}}
，角
的对边分别为
，那么
中文数学 Wiki