正切

正切（tangent， $\tan$ ，或 $\text{tg}$ ）是三角函数的一种。它的定义域是 $\{ x \in \R: x \ne k \pi + \frac{\pi}{2}, k \in \Z \}$ ，而值域是整个实数集。复变函数的正切详见复三角函数。

定义[]

在直角三角形中，一个锐角 $\angle A$ 的正切定义为它的对边与邻边的比值，也就是：

\tan A = \dfrac{a}{b}.

其定义和余切函数互为倒数。

设 $\theta$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 中的一个象限角， $P(x, y)$ 是角的终边上一点，则 $\theta$ 的正切定义为：

\tan \theta = \dfrac{y}{x}.

在平面坐标系中，有一个以原点为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同 $x$ 轴正半部分得到一个角 $\theta$ （逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交于点 $A$ 。正切可以通过以下两种方式定义：

记单位圆与 $x$ 轴的交点为 $E$ ，过 $E$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，该直线于 $OA$ 延长线交于一点 $P$ ，则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为该角正切的绝对值（一、三象限为正值；二、四象限为负值）。（图中蓝线）此时，单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
过 $A$ 点做一直线，与单位圆相切，直线与 $x$ 轴的交点与 $A$ 点之间的距离即为该角度的正切值（一、三象限为正值；二、四象限为负值）。（图中绿线）

\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}

其中 $B_{2n}$ 为 Bernoulli 数。

正切函数满足的两个微分方程是

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x.

\tan x = (- \ln (\cos x))'.

\tan \theta = \frac{\text{e}^{{\mathrm{i}}\theta} - \text{e}^{-{\mathrm{i}}\theta}}{{\mathrm{i}}(\text{e}^{{\mathrm{i}}\theta} + \text{e}^{-{\mathrm{i}}\theta})}

这种定义有望将其推广到复变函数上，详见复三角函数。

正切函数是奇函数，图像是中心对称的，对称中心有 $\dfrac{k\pi}{2}, k \in \Z.$
正切函数是无界函数，这个性质常用来为一个有界开区间 $(a,b)$ 建立 $\R$ 的一一对应： $f(x) = \tan \left[ \dfrac{\pi}{a-b}\left(x - \dfrac{a+b}{2}\right) \right].$
正切函数是连续定义区间上的单调递增函数。
正切函数是周期函数，其最小正周期为 $\pi$ 。
非零有理数的正切值不是有理数。

说明：以第一象限角为例，注意其余象限角的符号处理。

函數	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\tan \theta$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$

基本公式：

\tan(\theta\pm\psi)=\frac{\tan\theta\pm\tan\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}.

正切的有限多项和：设 $x_i = \tan (\theta_i)$ ，对于 $i = 1, 2, \cdots, n.$ 设 $e_k$ 是变量 $x_i$ ， $i = 1, 2, \cdots, n, k = 0, 1, \cdots, n$ 的 $k$ 次基本对称多项式。则

\tan( \theta_1 + \cdots + \theta_n ) = \dfrac{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}.

项的数目依赖于

n

。例如，

{\displaystyle \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & = \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) & = \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ & = \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)}, \end{align}}

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

二倍角公式：
${\displaystyle \begin{align} \tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta} \\ & = \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}. \end{align}}$
三倍角公式：
$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}.$
多倍角公式：
$\tan n\theta = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2k-1} \tan^{2k-1}\theta}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2(k-1)} \tan^{2(k-1)}\theta}.$
递归公式：
$\tan n\theta = \frac{\tan (n-1) \theta + \tan \theta}{1 - \tan (n-1) \theta \tan \theta}.$
半角公式：
${\displaystyle \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} \\ &= \dfrac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \dfrac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \dfrac{\cos \theta + \sin \theta - 1}{\cos \theta - \sin \theta + 1}. \end{align}}$