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在对称双线性度量空间中,一个子空间的正交补对研究线性方程组理论等有重要意义。

在一般的赋范线性空间中定义一个子空间的补详见补空间

定义[]

对称双线性度量空间中,对于任意一个子空间,如下定义的集合

的一个子空间,我们称它为正交补空间(orthogonal complement space)。内积空间Hilbert 空间中,度量为一般内积。

通俗来讲,子空间的正交补就是收集了中所有与中向量正交的向量,特别地,零子空间的正交补就是全空间,全空间的正交补是零子空间。

再例如,所有直观几何中的三维空间向量构成的集合,定义其上的双线性函数(即一般意义的内积),全体轴上的向量构成的子空间的正交补就是平面。

性质[]

维对称双线性度量空间中,,则有

与线性方程组的联系[]

有限维对称双线性度量空间上的正交补空间和线性方程组有很大的联系,这个关系也可以帮助我们研究无穷维空间(用算子代替矩阵)上的补空间的性质。

正交补是方程组的解空间[]

这里我们给出一个线性方程组,求它的解空间,并说明它和某个的正交补相同。

方程组的解空间是正交补[]

这里我们构造一个线性方程组,使得它的解空间恰为一个给定的中子空间的正交补。

线性方程组有解的条件[]

借助之前的讨论,我们可以证明(非齐次)线性方程组有解的条件。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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