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在线性代数中,正交变换又称保距变换,是保持 Euclid 空间向量之间内积不变的线性变换,而正交矩阵则是正交变换在一组标准正交基下的矩阵,在直观的解析几何中的过渡矩阵对应的变换就是正交变换。一些常见的正交变换有旋转和镜面反射

定义[]

假设内积空间,设,称正交的,如果。 它还有以下等价刻画:

  1. 保持向量长度不变;
  2. 保持向量间的距离不变。

如果是有限维的,它还定价于

  1. 是标准正交基是标准正交基;
  2. 在任何基底下,对应的矩阵满足,我们称这样的矩阵为正交矩阵,在任意基底的条件可以弱化为在某一基底下。

要注意的是,保持向量夹角不变的线性变换不一定是正交变换,例如伸缩变换)。

正交矩阵是基于标准正交基上讨论的,它可以把标准正交基变成标准正交基,在正交基底下一定是正交矩阵;但是在非标准正交基下,正交矩阵未必代表正交变换。

是正交矩阵,则还有以下等价刻画:

其中

是 Kroneker 符号函数,这说明了是正交阵当且仅当每一行(列)组成的列(行)向量组都是标准正交基。

性质[]

是一正交变换,是其在某一标准正交基下的矩阵(进而是正交矩阵),那么

  • 的特征值只可能为
  • 的特征多项式在上的根的模都是
  • 都是正交矩阵;
  • ,我们把的正交矩阵称为第一类正交阵,另一种为第二类正交阵;
  • 如果也是正交阵,那么也是正交阵。
  • 是三角阵,则其必为对角阵,且对角线上的元素只可能为
  • 可以表示为若干个镜面反射的合成。

QR 分解[]

任何一个实矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积,QR分解经常用来解线性最小二乘法问题。其分解过程是考虑 Gram-Schmidt 正交化过程。

酉矩阵[]

酉矩阵是正交矩阵在复数域上的推广,它满足,其中共轭转置

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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