正交相似化简

在线性代数中，对一个实矩阵的正交相似化简即使相似变换，也是合同变换。

概述

$n$阶实对称矩阵$A$一定可以相似对角化，而由于对应于不同特征值的特征向量彼此正交，如果将对应于同一特征值（如果该特征值是重根的话）的线性无关的特征向量正交化，得到一个$n$元正交向量组，再将它们单位化，那么这样得到的过渡矩阵（使$T^{-1} A T$为对角形的可逆矩阵$T$）就是一个正交矩阵，而由于正交矩阵有性质$T^{-1} = T^\text{T}$，故对实对称矩阵的相似化简实际上也是合同化简，正交相似化简后的标准形就是相似标准型，也是合同标准型，特别地，是对角矩阵，对角线上的元素都是实特征根。

例子

例如，将实对称矩阵$A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$对角化，并求正交矩阵$T$，使得$D_\lambda = T^\text{T} A T$为对角形。

$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1&-1&-1\\-1&\lambda-1&-1\\-1&-1&\lambda-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-1&-1&-1\\-1&\lambda-1&-1\\0&-\lambda&\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-1&-2&-1\\-1&\lambda-2&-1\\0&0&\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 (\lambda-3).$

对于$\lambda_1 = 3$，$\begin{pmatrix} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_1 = (1,1,1)^\text{T};$
对于$\lambda_2 = \lambda_3 = 0$，$\begin{pmatrix} -1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_2 = (1,0,-1)^\text{T}, \alpha_3 = (0,1,-1)^\text{T}.$

由于$\alpha_1$与$\alpha_2, \alpha_3$均正交（实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交），故只需对$\alpha_2, \alpha_3$正交化即可，$\beta_2 = \alpha_2$，$\beta_3 = \alpha_3 - \dfrac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 = \left(-\dfrac{1}{2}, 1, -\dfrac{1}{2} \right)^\text{T}.$

再标准化，写成$T = (\alpha_1, \beta_2, \beta_3)$的形式即可，得到 $D_\lambda = \begin{pmatrix} 3\\&0\\&&0 \end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix}$

上下节

• 上一节：反对称矩阵
• 下一节：正定矩阵

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.