正交多项式

函数空间中的正交多项式是一类给定某种内积后相互正交的多项式（或广义多项式），正交多项式在数值计算和研究函数空间结构中应用广泛。

概念

设定义在区间$I$（可以为有界闭区间，也可以是无穷区间，此时对应的下面的积分为反常积分）上的一元实函数族$\{ f_i (x) \}_{i=0}^n$为$n+1$维函数空间$P_n$上的正交函数系，如果它满足

$$(f_i(x), f_j(x)) = \int_I \rho(x) f_i(x) f_j(x) \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & i \ne j, \\ a_i > 0, & i = j. \end{cases}$$

并称$\left\{ \dfrac{f_i(x)}{a_i} \right\}_{i=0}^n$为标准正交的。其中$\rho(x)$是该内积的权函数。

显然$\{ f_i (x) \}_{i=0}^n$一定是$P_n$上线性无关的基函数（基底）。

特别地，当$P_n = \R_n [x]$即次数不超过$n$的多项式空间时，若此时$\{ f_i (x) \}_{i=0}^n$也是多项式，则称其为正交多项式。

递推公式和零点定理

正交基函数有递推公式：

$$f_{k+1} = \left(x - \dfrac{(xf_k, f_k)}{(f_k, f_k)} \right) f_k - \dfrac{(f_k, f_k)}{(f_{k-1}, f_{k-1})} f_{k-1}, \quad f_0 = 1, f_1 = x - \dfrac{(xf_0, f_0)}{(f_0, f_0)}.$$

由此利用数学归纳法得出：正交多项式$f_i (x)$在$I$上有$i$个互异的实根。

常见的正交多项式

1. Chebyshev 多项式
2. Legendre 多项式
3. Laguerre 多项式
4. Hermite 多项式

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.