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在数学中,次可加函数(subadditive functions)是定义在一个线性空间上的一类满足三角不等式的实值函数,例如距离(度量)、范数等都是这样满足次可加性的函数。

定义[]

假设有线性空间,集合满足

映射如果满足如下三角不等式
我们就称上的次可加映射/函数,这里我们允许的取值是无穷,不过为了让等式有意义我们不允许同时取到正无穷和负无穷,因为会出现的情况。

有很多满足次可加性的映射或函数,例如

  1. 实数域上的绝对值函数、复数域上的模。
  2. 度量空间中的度量、拟度量空间中的拟度量
  3. 赋范线性空间中的范数、赋半范数线性空间中的半范数
  4. 赋范线性空间上的次线性泛函线性泛函
  5. 赋准范数线性空间中的准模。
  6. 可测空间上的测度外测度符号测度

还有很多非平凡的例子,例如上的次方函数()等等。

如果映射如果满足如下反三角不等式

我们就称上的超可加映射/函数(superadditive function),

基本性质[]

下面我们均假设次可加函数的定义域满足,否则次可加函数的定义无意义。

  1. 同一定义域上的次可加函数的非负有限线性组合依然是次可加的。
  2. 次可加函数的相反数是超可加函数,反之亦然。因此超可加函数的相关性质和次可加函数类似,因此我们只考察次可加函数即可。
  3. 如果,那么即可得到
  4. 假设,那么用归纳法直接验证。
  5. ,仅需注意
  6. 如果上的一族次可加函数,那么它们的上确界也是次可加函数,前提是不允许均取到正负无穷。
  7. 如果上的一列次可加函数,那么它们的极限如果存在有特殊次可加函数,前提是不允许均取到正负无穷。
  8. 如果中的对称区域(即或等价地说),那么上的偶的次可加函数是非负的,奇的次可加函数只能是线性函数。

有界连续性[]

以下的两个结果分别关于次可加函数的有界性和连续性,特别是局部结果在一定程度上可以控制全局结果,这是线性函数推广到次可加情形的一些结果。

有界性[]

假设是赋范线性空间,开集满足是次可加函数,如果在一个点局部有界(即存在中的一个开邻域使得上有界),那么中的任意一点均局部有界。

连续性[]

假设是赋范线性空间,开集满足是次可加函数,如果在点处连续且,那么上连续。

和线性函数不同,有界性和连续性不等价,下面是一个局部有界但不连续的函数的例子:在中定义(有理点集合)的示性函数,它是局部有界的次线性函数,但处处不连续。

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