在数学中,次可加函数(subadditive functions)是定义在一个线性空间上的一类满足三角不等式的实值函数,例如距离(度量)、范数等都是这样满足次可加性的函数。
定义[]
假设有线性空间
,集合
满足

映射
![{\displaystyle f:C\to [-\infty ,+\infty ]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b36a4047c71a52828f30a6b5e32ec6b7418c4c09)
如果满足如下三角不等式

我们就称

是

上的次可加映射/函数,这里我们允许

的取值是无穷,不过为了让等式有意义我们不允许

同时取到正无穷和负无穷,因为会出现

的情况。
有很多满足次可加性的映射或函数,例如
- 实数域上的绝对值函数、复数域上的模。
- 度量空间中的度量、拟度量空间中的拟度量。
- 赋范线性空间中的范数、赋半范数线性空间中的半范数。
- 赋范线性空间上的次线性泛函和线性泛函。
- 赋准范数线性空间中的准模。
- 可测空间上的测度、外测度和符号测度。
还有很多非平凡的例子,例如
上的
次方函数(
)等等。
如果映射
如果满足如下反三角不等式

我们就称

是

上的超可加映射/函数(superadditive function),
基本性质[]
下面我们均假设次可加函数
的定义域
满足
,否则次可加函数的定义无意义。
- 同一定义域
上的次可加函数的非负有限线性组合依然是次可加的。
- 次可加函数的相反数是超可加函数,反之亦然。因此超可加函数的相关性质和次可加函数类似,因此我们只考察次可加函数即可。
- 如果
,那么
取
即可得到
- 假设
,那么
用归纳法直接验证。
,仅需注意
- 如果
是
上的一族次可加函数,那么它们的上确界
也是次可加函数,前提是
不允许均取到正负无穷。
- 如果
是
上的一列次可加函数,那么它们的极限
如果存在有特殊次可加函数,前提是
不允许均取到正负无穷。
- 如果
是
中的对称区域(即
或等价地说
),那么
上的偶的次可加函数是非负的,奇的次可加函数只能是线性函数。
有界连续性[]
以下的两个结果分别关于次可加函数的有界性和连续性,特别是局部结果在一定程度上可以控制全局结果,这是线性函数推广到次可加情形的一些结果。
有界性[]
假设
是赋范线性空间,开集
满足
,
是次可加函数,如果
在一个点
局部有界(即存在
在
中的一个开邻域
使得
在
上有界),那么
在
中的任意一点均局部有界。
连续性[]
假设
是赋范线性空间,开集
满足
,
是次可加函数,如果
在点
处连续且
,那么
在
上连续。
和线性函数不同,有界性和连续性不等价,下面是一个局部有界但不连续的函数的例子:在
中定义
(有理点集合)的示性函数
,它是局部有界的次线性函数,但处处不连续。