模的直和

模的直和（the direct sum of modules）是有限个模作为集合的笛卡尔积形式，它既是模范畴上的积，也是模范畴上的余积。这是模范畴比群范畴以及环范畴性质更好的又一点体现。

有限情形

积/直积

不妨我们进讨论两个 R-模$M, N$的积，首先注意到它们作为集合的笛卡尔积

$${\begin{aligned}\pi _{M}:M\times N&\to M,\\(m,n)&\mapsto m,\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\pi _{N}:M\times N&\to N,\\(m,n)&\mapsto n.\end{aligned}}$$

这两个满射是所谓的投影，我们在定义如下环$R$的作用方式

$$\forall m \in M, n \in N, r \in R, r(m, n) = (rm, rn).$$

这样的积$M \times N$又被称为直积（direct product），满足范畴的乘积对象的泛性质，即下图可换

余积/直和

同样可讨论模范畴中的余积对象，实际上$M \times N$就是余积，由于$\pi_M \times \pi_N$是满射，在乘积对象的泛性质中交换所有箭头，就得到余积对象。

$\pi_M \times \pi_N$决定了另外一组单射

$${\begin{aligned}\iota _{M}:M&\to M\times N,\\m&\mapsto (m,0),\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\iota _{N}:N&\to M\times N,\\n&\mapsto (0,n).\end{aligned}}$$

而由直积的性质

$$\forall m \in M, n \in N, (m, n) = (m, 0) + (0, n).$$

同样注意到如上的作用定义

$$\forall m \in M, n \in N, r \in R, r(m, n) = (rm, rn).$$

不难验证直和确实定义了余积。

余积的泛性质就是将上述所有箭头反向。

有时余积也被成为模的直和。

无限情形

以上定义的模的积和余积不难将他们推广到有限个模的情形，此时的直和既是积也是余积，但是对于无限个 R-模来说情况略有不同。

我们先考虑可列个情形，记$\{ M_i \}_{i=1}^\infty$是一列 R-模，它们的积记作$\prod_{i=1}^\infty M_i$，其中的元素是序列

$$(m_1, m_2, \cdots), m_i \in M_i.$$

对于不可列的无限个 R-模$\{ M_\alpha \}_{\alpha \in A}$，考虑集合映射

$$\begin{align} f: A & \to \bigcup_{\alpha \in A} M_\alpha, \\ \alpha & \mapsto m_\alpha. \end{align}$$

因此$\{ M_\alpha \}_{\alpha \in A}$的积$\prod_{\alpha \in A} M_\alpha := \{(f(\alpha))_{\alpha \in A}\}.$

它们的余积并不是积，实际上可列个情形下余积$\bigoplus_{i=1}^\infty M_i$中的元素被如下定义

$$(m_1, m_2, \cdots) \sim m_1 + m_2 + \cdots.$$

上述右端求和有意义，必须要求至多有有限个$m_i$非零。推广到不可列的情形时依然像积那样使用映射语言。我们记余积为$\bigoplus_{\alpha \in A} M_i$或$\sum_{\alpha \in A} M_i$

我们有

1. $\bigoplus_{\alpha \in A} M_i \leqslant \prod_{\alpha \in A} M_i.$
2. 存在一个 R-模满同态$\pi_i: \bigotimes_{\alpha \in A} M_i \to M_i.$
3. 存在一个 R-模单同态$\iota_i: M_i \to \bigoplus_{\alpha \in A} M_i.$

它们也有对应的泛性质，我们就不详细写出了。

直和分解

如果$f$是一个 R-模$M$上的幂等模同态（即$f^2 = f$），那么$M$就有直和分解

$$M = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f.$$

更一般地，假设$M, M_1, M_2, \cdots, M_n$是 R-模，那么$M \cong \bigoplus_{i=1}^n M_i$当且仅当对任意$i = 1,2,\cdots,n$存在 R-模同态$f_i: M \to M$使得

1. $M_i \cong \operatorname{Im} f_i.$
2. $1_M = \sum_{i=1}^n f_i.$
3. $f_if_j = 0, \forall i \ne j.$

实际上这里的$f_i$都是幂等的，几何上讲它是某种投影变换。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.