模的正合列

在模论中，模的正合列是特殊的模同态序列，不严格地也可以说成是模的序列，由于模的性质特别好，它的子集和做商都可以成为模，进而之间的映射可以成为模同态，依然是模范畴中的态射，因此通过模来研究范畴上的正合列是十分方便的。

定义

设有两个 R-模的模同态$f: M_1 \to M_2, g: M_2 \to M_3$，满足

$$\text{Im} f = \text{Ker} g.$$

我们就说$g, f$在$M$处正合（exact），一个同态$f: M_1 \to M_2$我们规定它在$M_1$和$M_2$处均正合。

进而我们可以考虑一列模同态

$$\{ f_n \}: M_0 \overset{f_1}{\rightarrow} M_1 \overset{f_2}{\rightarrow} M_2 \overset{f_3}{\rightarrow} \cdots$$

如果$f_n, f_{n+1}$在$M_n$处正合，我们就称这个序列是正合列（exact sequence）。

同态核性质

一个模同态$f:M \to N$诱导了如下的正合列

$$0 \rightarrow \text{Ker} f \overset{\iota}{\rightarrow} M \overset{f}{\rightarrow} N \overset{\pi}{\rightarrow} N/\text{Ker} f \rightarrow 0.$$

其中$\iota$是嵌入单同态，$\pi$是自然满同态。

1. $f$是单同态当且仅当以下序列正合
   $$0 \rightarrow M \overset{f}{\rightarrow} N \overset{\pi}{\rightarrow} N/\text{Ker} f \rightarrow 0$$
   或更简单地
   $$0 \rightarrow M \overset{f}{\rightarrow} N$$
   正合。
2. $f$是满同态当且仅当以下序列正合
   $$0 \rightarrow \text{Ker} f \overset{\iota}{\rightarrow} M \overset{f}{\rightarrow} N \rightarrow 0$$
   或更简单地
   $$M \overset{f}{\rightarrow} N \rightarrow 0$$
   正合。

我们称如下形式的正合列

$$0 \rightarrow K \overset{f}{\rightarrow} M \overset{g}{\rightarrow} N \rightarrow 0$$

为短正合列（short exact sequence），这里$f$是单同态，$g$是满同态。在同构的意义下，$K$和$M$的一个子模同构，$N$和$M$的一个商模同构。这个正合列也称为$N$通过$K$的扩张（extension），因此短正合列只是另外一个表示子模和商模的方式。

同构

我们称两个 R-模的正合列

$$\begin{align} \{ f_n \}: & M_0 \overset{f_1}{\rightarrow} M_1 \overset{f_2}{\rightarrow} M_2 \overset{f_3}{\rightarrow} \cdots, \\ \{ g_n \}: & N_0 \overset{g_1}{\rightarrow} N_1 \overset{g_2}{\rightarrow} N_2 \overset{g_3}{\rightarrow} \cdots \end{align}$$

是同构的，是指存在模同构$h_i: M_i \to N_i, \quad i = 0,1,\cdots$使得

$$h_i f_i = g_{i-1} h_{i-1}, i = 1,2,\cdots.$$

即下图可换：

File:The diagram of isomorphic module sequences.png

可以验证：在（左）R-模全体序列组成的集族上上述定义的同构决定的二元关系是等价关系。

分裂

我们上面指出，短正合列的定义决定了一个模关于子模和商模的同构，但是并不会决定两个模的直和关于它们自己的同构，后者显然更强。

我们称一个模的短正合列

$$0 \rightarrow K \overset{f}{\rightarrow} M \overset{g}{\rightarrow} N \rightarrow 0$$

是分裂的（split）是指它同构于如下短正合列

$$0 \rightarrow K \overset{\iota_K}{\rightarrow} K \oplus N \overset{\pi_N}{\rightarrow} N \rightarrow 0$$

上面模同态$\iota_K, \pi_N$是嵌入单同态和自然满同态。

运用五引理可以证明：短正合列#A1是分裂的当且仅当下面之一成立

1. 存在一个 R-模同态$h: N \to M$使得$gh = 1_N.$
2. 存在一个 R-模同态$k: M \to K$使得$kf = 1_K.$

于是对 R-模同态$f: A \to B, g: B \to A$，如果$gf = 1_A$，那么$B = \text{Im} f \oplus \text{Ker}g.$

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.