模格

在格论中，模格（modular lattice）是满足“模律”的格。“模”一词和代数结构模是有关联的。

次模律

在一般的格$(S, \leqslant)$中，对任意的$a, b, c \in S$，成立着次模律，即 $$a \leqslant b \Longleftrightarrow a \lor (b \land c) \leqslant (a \lor c) \land b.$$ 上述性质等价于$\forall a, b, c \in S,$

1. $(a \land b) \lor (a \land c) \leqslant a \land (b \lor (a \land c));$
2. $a \lor (b \land (a \lor c)) \leqslant (a \lor b) \land (a \lor c).$

模格

对于一个格$(S, \leqslant)$，次模律中的小于等于实际上取到等于号，就称为模律，即$\forall a, b, c \in S,$

1. $a \leqslant b \Rightarrow a \lor (b \land c) = (a \lor c) \land b;$
2. $(a \land b) \lor (a \land c) = a \land (b \lor (a \land c));$
3. $a \lor (b \land (a \lor c)) = (a \lor b) \land (a \lor c).$

以上三条等价，称满足三条其中之一的$(S, \leqslant)$为一个模格。

分配格是模格，因此$(2^S, \subseteq), (\N^+, \leqslant)$都是模格。模格不一定是分配格。

充要条件

一个格$(S, \leqslant)$是模格的充要条件是它满足双消律（因此格上的模律和双消律是等价的） $$\forall a, b, c \in S, (a \land b = a \land c) \And (a \lor b = a \lor c) \quad \Longleftrightarrow \quad b = c.$$ 双消律已在分配格中指出，分配格是模格的一种，分配格的双消律不是充要的。

Dedekind 定理

设$(S, \leqslant)$是一格，它是一个模格当且仅当其任意一个子格不与下面右端的格同构。

这是通过格的图简易判断一个格是否为分配格的方法。上面两个格分别记作$M_5, N_5.$这两个记号是约定俗成的。

左端的格$M_5$是区别分配格和模格的依据，因为关于分配格的 Birkhoff 定理指出$(S, \leqslant)$是分配格当且仅当其任意一个子格不与上面两个之一同构。

一些例子

以下的代数结构上的格的定义可见格#格上的关系。

1. 集合$S$的子集全体$2^S$连同集合间的包含关系构成的格是模格。
2. 群$G$的正规子群构成的格$N(G)$是模格。
3. 环$R$的子环构成的格$I(R)$是模格。
4. 模$M$的子模全体$N(M)$在偏序关系下是模格。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.