模同态

在抽象代数中，模是一个环作用在交换群上形成的一种代数结构，关于不同的模之间同样也会讨论结构相似问题，这就是模同态的概念。

定义

设有两个 R-模$M, N$，一个集合映射$\varphi: M \to N$，如果它满足

1. 对加法兼容：$\forall m, m' \in M, \varphi(m + m') = \varphi(m) + \varphi(m');$
2. 对数乘兼容：$\forall m \in M, r \in R, \varphi(rm) = r\varphi(m).$

我们就称$\varphi$是从$M$到$N$的一个同态。同样有单同态、满同态以及同构的概念。

同态象$\text{Im} \varphi$和同态核$\text{Ker} \varphi$的定义和环同态相似，不拟赘述。

不同的环作用形成的不同的模之间无法讨论这样的同态，因为假设有 R-模$M$和 S-模$N$，那么由我们定义同态的核心观点：保持运算形式，会得到

1. 对数乘兼容：$\forall m \in M, r \in R, \varphi(rm) = r\varphi(m).$

但是，遗憾的是后者是$R$作用在$N$上，但$N$并不是 R-模，因此记号不一定有意义。

典范分解

模同态$\varphi: M \to N$可以分解为以下映射的复合

$$\begin{align} M \overset{\pi}{\longrightarrow} M/\operatorname{Ker} \varphi \overset{\tilde{\varphi}}{\longrightarrow} \operatorname{Im} \varphi \overset{j}{\longrightarrow} N. \end{align}$$

因此将模同态$\varphi$分解为一个典范投影（canonical projection，是满射）$\pi: M \to M/\operatorname{Ker} \varphi$，双射（也是模同态）$\tilde{\varphi}: M/\operatorname{Ker} \varphi \to \operatorname{Im} \varphi$（第一同构定理），单射$j: \operatorname{Im} \varphi \to N$的复合。

这种分解要比群同态和环同态的性质更好——因为$M/\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$都是模，确切地说，分别是$M, N$的子模，这也是模的性质好于环的一点。

同构定理

和群同构定理以及环同构定理类似，模也有三个同构定理。

第一同构定理

设$\varphi: M \to N$是一个模同态，那么

$$\operatorname{Im} \varphi \cong M/\operatorname{Ker} \varphi.$$

进一步，若$\varphi$是满同态（或同构），那么

$$N \cong M/\operatorname{Ker} \varphi.$$

第二同构定理

设模$N, P$是$M$的子模，那么：

• $N + P$是$M$的子模，$N$是$N + P$的子模；
• $N \cap P$是$P$的子模，且
  $$\dfrac{N + P}{N} \cong \dfrac{P}{N \cap P}.$$

第三同构定理

设有模$R$，模$N, P$满足$N \leqslant P \leqslant R$，那么$P/N$是$M/N$的子模，且此时有

$$\dfrac{M/N}{P/N} \cong \dfrac{M}{P}.$$

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.