模

在环论中，我们可以像群作用那样来定义一个环中的元素对某个集合（特别的这里是交换群）中的元素的作用，这样就形成一个模（module）。它扩充了环的范围，环的子环、理想等概念都是某种意义下的模。

定义

左模

设$R$是一环，$M$是一交换群，$\rho: R \times M \to M$是一映射，我们简写$(r, m) =: rm$表示用$r \in R$去作用$m$及其作用的结果$rm \in M$，注意这里只是作用记号的简写，而一般情况下不是群$M$或环$R$上的乘法的简写。

如果这个作用满足如下四条：

$\begin{align} & (\text{i}) & (r + s) m ~\quad~ &=&& rm + sm, && \forall r, s \in R, m \in M; \\ & (\text{ii}) & r (m + n) ~\quad~ &=&& rm + rn, && \forall r \in R, m, n \in M; \\ & (\text{iii})& (rs) m ~\quad~ &=&& r (sm), && \forall r, s \in R, m \in M; \\ & (\text{iv}) & 1 m ~\quad~ &=&& m, && 1 \in R, \forall m \in M. \end{align}$

这里$1$是$R$的单位元。

以上是环对群的左作用诱导出来的一种代数结构$(M, R, \rho)$，我们称其为一个左 R-模（left-R-module），有时简写作$M$。

由定义不难推出

$\begin{align} & (\text{v}) && (-1) m = -m, && \forall m \in M; \\ & (\text{vi}) && 0 m = 0, && \forall m \in M. \end{align}$

第二个推论中的零元读者不难区分是$R$还是$M$里的。

右模

同样我们可以定义右 R-模（right-R-module），这是由右作用诱导的，定义的$(\text{i}), (\text{ii}), (\text{iv})$和左 R-模类似，只不过环的元素作用在了右边作为简写，第$(\text{iii})$如下条件

$m (rs) = (mr) s, \forall r, s \in R, m \in M.$

这两种模是对偶的，例如我们可以考虑

$$\begin{align} \varphi: R & \to R \\ r & \mapsto r^{-1}. \end{align}$$

来将右 R-模同构于左 R-模，因此我们一般只研究其中一个（左 R-模），并称其为由$\rho$诱导的$R$在$M$上的 R-模。

在交换环$R$下，左 R-模和右 R-模完全一样。

范畴

在环范畴里，R-模的定义更简单。假设有一个环$R.$

我们仅需注意到一个交换群$M$的自同态环$\text{End}_\mathsf{Ab} (M)$就提供了到这个群$M$的一个作用手段，这也就是说，作用$\rho$可以定义为环同态

$$\rho: R \to \text{End}_\mathsf{Ab} (M).$$

很自然地，这和上述定义等价。

例子

1. 一个 F-模的例子是线性空间$(\mathbb{P}, F, \cdot)$，其中$F$是域，它同时也是最重要的模，其上的作用称为数乘。
2. 环$R$到其子环或理想$S$的模$(R, S, \rho)$，$\rho$就是换上的普通乘法。
3. 设$\varphi: R \to S$是一环同态，R-模$(R, S, \rho)$上的作用映射可由下式定义
   $$\begin{align} \rho: R \times S & \to S, \\ (r, s) & \mapsto \varphi(r)s \end{align}.$$
4. 交换群$G$在整数加法环$\mathbb{Z}$上诱导的模，映射$\rho$可以是$\rho(ng) = n\rho(g), \forall n \in \Z, g \in G.$

R-模同态

两个 R-模之间的结构关系可以用同态来衡量。这也就是说，设有两个 R-模 $M_1, M_2$满足如下条件的映射$\varphi: M_1 \to M_2$

1. $\forall m_1 \in M_1, m_2 \in M_2, \varphi(m_1 + m_2) = \varphi(m_1) + \varphi(m_2);$
2. $\forall r \in R, m \in M_1, \varphi(rm) = r\varphi(m).$

这样我们就说$\varphi$是$M_1$到$M_2$的 R-模同态。同样有同构的概念。

参见

• R-模范畴

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.