概率空间

概率空间是通过样本空间进一步抽象和数学化得到的，它是概率论公理化的基础。

事件域

设$\mathit{\Omega}~$是一个样本空间，有时我们并不需要关心这个样本空间的所有事件，我们只把关心的一部分事件收集起来，形成一个新的集合$\mathcal{F}$，它满足

1. 若$A \in \mathcal{F}$，则$\overline{A} \in \mathcal{F};$
2. 若$A_j \in \mathcal{F}, j = 1,2,\cdots$，则$\bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \mathcal{F}.$

从这两条可以知道，$\mathcal{F}$中的事件经过有限次的集合运算至多可列次运算后都依然在$\mathcal{F}$中，注意经过不可列次运算所得的事件，不一定在$\mathcal{F}$中。

我们称$\mathcal{F}$为$\sigma$域或$\sigma$代数。最平凡的$\sigma$代数是$\{ \mathit{\Omega}, \varnothing \}$，仅考虑某个特定事件$A \in \mathit{\Omega}~$的$\sigma$代数是$\{ \mathit{\Omega}, \varnothing, A, \overline{A} \}.$

概率

如果$P$是以$\mathcal{F}$为定义域的函数，这个函数满足

1. 完备性：$P(\mathit{\Omega}) = 1;$
2. 非负性：$\forall A \in \mathcal{F}, P(A) \geqslant 0;$
3. 可列可加性：$A_j \in \mathcal{F}, j = 1,2,\cdots$互斥，$P \left( \bigcup_{j=1}^\infty A_j \right) = \sum_{j=1}^\infty P(A_j).$

那么我们就称$P$为$\mathcal{F}$上的一个概率，并称$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$为一个概率空间。

概率的基本性质

这样定义的概率有如下性质：

1. $P(\varnothing) = 0;$
2. 有限可加性：$A_j \in \mathcal{F}, j = 1,2,\cdots, n$互斥，$P \left( \bigcup_{j=1}^n A_j \right) = \sum_{j=1}^n P(A_j);$
3. $P(\overline{A}) = 1 - P(A);$
4. 如果$A \supset B$，那么$P(A - B) = P(A) - P(B);$
5. 如果$A \subset B$，那么$P(A) \leqslant P(B);$
6. 次可加性：$P \left( \bigcup_{j=1}^n A_j \right) \leqslant \sum_{j=1}^n P(A_j), P \left( \bigcup_{j=1}^\infty A_j \right) \leqslant \sum_{j=1}^\infty P(A_j)$

这五条性质在一些模型中（例如古典概型和几何概型）看似显然正确，但是用公理化定义来推出上述性质的正确性，才是数学所研究的，上述性质仅由概率的定义证得，因此并不限于某种具体的概率模型。

事件域的扩张

我们知道，概率定义在$\sigma$代数上，下面我们可以看到，作为定义概率的结构的条件，是不能减弱的。

考虑一个平凡的结构，设$\mathit{\Omega}~ \ne \varnothing$，称$S \subset 2^\mathit{\Omega}$是一个半代数，如果满足

1. 对交封闭：如果$A, B \in S$，那么$AB \in S;$
2. 补为不交并：如果$A \in S$，那么存在$A_i \in S, A_i A_j \ne \varnothing, i \ne j, i,j = 1,2,\cdots$使得$\overline{A} = \bigcup_{i=1}^n A_j.$

在半代数上无法定义补事件的测度，自然不能定义概率，再将上述条件稍微加强，得到代数这一结构。

设$\mathit{\Omega}~ \ne \varnothing$，称$S \subset 2^\mathit{\Omega}$是一个代数，如果满足

1. 对并封闭：如果$A, B \in S$，那么$A \cup B \in S;$
2. 对补封闭：如果$A \in S$，那么$\overline{A} \in S.$

由上述两条可以推出对交封闭（使用 De Morgan 定理）以及有限可加性，是一种半代数，但是不能处理极限问题（没有可列可加性），依然不能定义概率。

再将上述条件加强，就得到$\sigma$代数，$\sigma$代数是一种特殊的代数。

上下节

• 上一节：样本空间
• 下一节：古典概型

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.