概率分布

概率分布（probability distribution）是概率论中刻画随机变量取某些值以及以何种概率取值的概念，按照随机变量的种类，概率分布可以分为离散型概率分布、连续型概率分布以及奇异型概率分布。每个概率分布都有自己确定的分布函数，这些分布函数中可能有某些参数，一个概率分布代表了一大类有相似特征的随机变量。

概率分布的特征也即随机变量的特征，包括数学期望、分位数（中位数、四分位数等）、众数、方差（协方差）、偏度、峰度、母函数、特征函数、熵等。

离散型概率分布

离散型概率分布中刻画随机变量的上述标准也称分布律，由于它只会在可列个值处有概率，因此分布函数是跳跃函数（分段的常数函数）。期望和方差可以通过级数定义。

分布类型	分布律	数学期望	方差	特征函数
退化分布	$p(c) = 1$	$c$	$0$	$\text{e}^{\text{i}ct}$
两点分布	$p(x) = \begin{cases} p , x = 1 \\ q , x = 0 \end{cases} \quad p+q=1$	$p$	$pq$	$p \text{e}^{\text{i}t} + q$
二项分布	$b(k; n, p) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k}$	$np$	$npq$	$(p \text{e}^{\text{i}t} + q )^n$
几何分布	$g(k;, p) = q^{k-1} p$	$\dfrac{1}{p}$	$\dfrac{q}{p^2}$	$\dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}$
Pascal 分布	$f(k; r, p) = \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r}$	$\dfrac{r}{p}$	$\dfrac{rq}{p^2}$	$\left(\dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}\right)^r$
Poisson 分布	$p(k;\lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$	$\text{e}^{\lambda(\text{e}^{\text{i}t}-1)}$
超几何分布	$p(k) = \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}$	$\dfrac{nM}{N}$	$\dfrac{nM}{N} \left( 1 - \dfrac{M}{N} \right) \dfrac{N-n}{N-1}$	$\sum_{k=0}^n \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} \text{e}^{\text{i}tk}$
负二项分布	$\dbinom{-r}{t} p^{r} (-q)^{t}$	$\dfrac{rq}{p}$	$\dfrac{rq}{p^2}$	$\left( \dfrac{p}{1-q\text{e}^{\text{i}t}} \right)^r$

连续型概率分布

连续型概率分布中常用的是随机变量的密度函数，由于它在区间上取值，因此分布函数是绝对可积的。期望和方差可以通过反常积分定义。

分布类型	分布律	数学期望	方差	特征函数
均匀分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x \in [a, b], \\ 0 , & x \notin [a, b]. \end{cases}$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(a-b)^2}{12}$	$\dfrac{\text{e}^{b\text{i}t}-\text{e}^{a\text{i}t}}{\text{i}t(b-a)}$
指数分布	$f(x) = \begin{cases} \lambda \text{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$	$\left( 1-\dfrac{\text{i}t}{\lambda} \right)^{-1}$
正态分布	$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \text{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$	$\text{e}^{\mu\text{i}t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$
对数正态分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \text{e}^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$	$\text{e}^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}$	$\text{e}^{2\mu+\sigma^2}(\text{e}^{\sigma^2}-1)$	$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{i}t)^n}{n!} \text{e}^{n\mu + \frac{n^2\sigma^2}{2}}$
Γ 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \text{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$\dfrac{\alpha}{\lambda}$	$\dfrac{\alpha}{\lambda^2}$	$\left( 1-\dfrac{\text{i}t}{\lambda} \right)^{-\alpha}$
χ² 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^\frac{n}{2}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} x^{\frac{n}{2}-1} \text{e}^{-\frac{x}{2}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$n$	$2n$	$(1-2\text{i}t)^{-\frac{n}{2}}$
t 分布	$f(x) = \dfrac{\Gamma\!\left( \frac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}~\Gamma\!\left( \frac{n}{2} \right)} \left( 1 + \dfrac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}$	$0, n > 1$	$\dfrac{n}{n-2}, n > 2$	${\displaystyle }$
F 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1+k_2}{2} \right)}{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1}{2} \right)~\Gamma\!\left( \dfrac{k_2}{2} \right)} k_1^\frac{k_1}{2} k_2^\frac{k_2}{2} \dfrac{x^{\frac{k_1}{2}-1}}{(k_2+k_1x)^\frac{k_1+k_2}{2}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$\dfrac{k_2}{k_2-2}, k_2 > 2$	$\dfrac{2k_2^2 (k_1+k_2-2)}{k_1 (k_2-2)^2 (k_2-4)}, k_2 > 4$	${\displaystyle }$
β 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\Beta(p,q)} x^{p-1} (1-x)^{q-1}, & x \in (0, 1), \\ 0, & x \notin (0, 1). \end{cases}$	$\dfrac{p}{p+q}$	$\dfrac{pq}{(p+q)^2 (p+q+1)}$	$\dfrac{\Gamma(p)}{\Gamma(p+q)} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\Gamma(p+n) (\text{i}\lambda t)^n}{\Gamma(p+q+n) \Gamma(n+1)}$
Cauchy 分布	$f(x) = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\lambda}{\lambda^2 + (x-\mu)^2}$	不存在	不存在	$\text{e}^{\text{i} \mu t - \lambda |t|}$
Rayleigh 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\sigma$	$\left( 2-\dfrac{\pi}{2} \right) \sigma^2$	$1 - \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \sigma t\text{e}^{-\frac{\sigma^2 t^2}{2}} \left(\text{erfi}\left(\dfrac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-\text{i}\right)$
Laplace 分布	$f(x) = \dfrac{1}{2\alpha} \text{e}^{-\frac{|x-\mu|}{\alpha}}$	$\mu$	$2\alpha^2$	$\dfrac{\text{e}^{\text{i}\mu t}}{1+\alpha^2 t^2}$
Weibull 分布	$f(x) = \begin{cases} \dfrac{k}{\lambda} \left( \dfrac{x}{\lambda} \right)^{k-1} \text{e}^{-\frac{x^k}{\lambda^k}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$	$\lambda \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right)$	$\lambda^2 \left[ \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{2}{k} \right) - \Gamma^2\!\left( 1 + \dfrac{1}{k} \right) \right]$	$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{i}\lambda t)^n}{n!} \Gamma\!\left( 1 + \dfrac{n}{k} \right)$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.