楔和

在拓扑学中，楔和（wedge sum）又称一点并（one-point union），是通过将已知拓扑空间的某些点捏在一起后生成新的拓扑空间的方法。一些圆周做楔和称为圆束。

定义

假设$X_1, X_2, \cdots, X_k$是一些拓扑空间，$p_i \in X_i, i = 1,2,\cdots,k$称为基点（base points），这些拓扑空间的楔和$X_1 \vee X_2 \vee \cdots \vee X_k$定义为拓扑和$\coprod_{i=1}^k X_i$的一个商空间，这个作商的方法是：将$\{ p_i \}_{i=1}^k$看作同一个元素而将其他每个点在各自单独的一个等价类中。

性质

1. Hausdorff 空间的楔和还是 Hausdorff 空间。
2. Seifert-Van Kampen 定理的推论：假设有拓扑空间$X_1, X_2, \cdots, X_n$，对每个$i = 1,2,\cdots,n$存在一个点$p_i \in X_i$使得存在$p_i$的一个邻域使其可以强形变收缩到$p_i$，那么做楔和$X_1 \vee X_2 \vee \cdots \vee X_n$使得$p_1, p_2, \cdots, p_n$在楔和的空间中对应一个点$p$，那么可以证明$p$也存在一个楔和空间中的邻域使其可以强形变收缩到$p$，进而可以证明

$$\pi_1(X_1, p_1) \ast \pi_1(X_2, p_2) \ast \cdots \ast \pi_1(X_n, p_n) \cong \pi_1(X_1 \vee X_2 \vee \cdots \vee X_n, p).$$

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.