数学中的椭圆积分或椭圆函数，是一类不能用初等函数表示的函数，下面是两类椭圆函数： E ( x ) = ∫ 0 π 2 1 − x 2 sin 2 θ d θ , F ( x ) = ∫ 0 π 2 d θ 1 − x 2 sin 2 θ , | x | < 1. {\displaystyle \begin{align} E(x) &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-x^2\sin^2\theta} \mathrm{d}\theta, \\ F(x) &= \int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-x^2\sin^2\theta}}, \end{align}\quad |x| < 1.} 上述被积函数没有初等原函数。
显然，有 F ( x ) = E ( x ) − x E ′ ( x ) {\displaystyle F(x) = E(x) - xE'(x)}
第一类椭圆函数是如下微分方程的解 x ( 1 − x 2 ) E ″ ( x ) + ( 1 − x 2 ) E ′ ( x ) + x E ( x ) = 0. {\displaystyle x(1-x^2)E''(x) + (1-x^2) E'(x) + x E(x) = 0.}
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