椭圆抛物面

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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椭圆抛物面（Elliptic paraboloid），是二次曲面的第Ⅱ类曲面的一种。

标准方程

椭圆抛物面的标准方程是 $$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 2z$$ 其中，$p, q > 0$是该椭圆抛物面的轴参数。

性质

以下均在椭圆抛物面的标准方程中讨论。

• 对称性：椭圆抛物面是无心二次曲面，它的对称平面是$yOz, xOz$平面。
• 有界性：$|z| \geqslant 0$。
• 截面：$z = h~(h \geqslant 0)$截椭圆抛物面所得的曲线是椭圆或一点，平行于$yOz, xOz$平面截椭圆抛物面所得的曲线是抛物线。

方程特点

二次曲面的一般方程是 $$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。 当它是椭圆抛物面时有$I_3 = 0, I_4 < 0.$

• 特征根：椭圆抛物面有一个零特征根以及两个正特征根，标准方程下的特征根是$\dfrac{1}{p}, \dfrac{1}{q}, 0$；
• 主方向：椭圆抛物面有一个奇向以及两个非奇异主方向；
• 渐近方向：椭圆抛物面的渐近方向在$z$轴上；
• 中心：$r = 2 < R = 3$，椭圆抛物面是无心二次曲面；
• 主径面：椭圆抛物面有两个主径面，标准方程下的主径面是$yOz, xOz$平面。

旋转抛物面

旋转抛物面是一种旋转面，也是椭圆抛物面，它是由双曲线$\begin{cases} y^2 = 2pz \\ x = 0 \end{cases}$绕$z$轴旋转所得的，标准方程是 $$x^2 + y^2 = 2pz.$$ 空间中到定平面和到定点的距离相等的点的轨迹是旋转抛物面，实际上，如果设定点为$(0, 0, \dfrac{p}{2})^\text{T}$，定平面为$z = - \dfrac{p}{2}$，那么轨迹方程是上述标准方程。

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