椭圆

椭圆（ellipse）是圆锥曲线中的一种，标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

定义

椭圆的第一定义是比较原始的几何定义，第二、三定义是其他等价的几何定义，代数特征中介绍了它是特殊的二次代数曲线。

第一定义

平面内与两定点$F_1, F_2$距离之和为常数$2a(2a>|F_{1}F_{2}|)$，即满足$|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(2a>F_{1}F_{2})$的点$P$的轨迹称为椭圆，其中$F_1, F_2$称为焦点。

第二定义

平面内与定点$F_1$和不经过该点的定直线$l$的距离之比为定值$e$的点的轨迹称为椭圆，这个定值称为离心率。$l$称为准线。

第三定义

平面内与定点$F_1, F_2$所分别确定的直线的斜率之积为定值$e^{2}-1$，即满足$k_{PF_{1}}\cdot k_{PF_{2}}=e^{2}-1$的点$P$的轨迹称为椭圆。

代数特征

从代数学而言，椭圆是满足$B^{2}<4AC$的二次曲线，具体来说，二次曲线 $$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ （其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零）是椭圆当且仅当$I_2 > 0$且$I_1 I_3 < 0$，其中$${\begin{aligned}I_{1}&=a_{11}+a_{22}\\I_{2}&={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\\I_{3}&={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{2}\\a_{1}&a_{2}&a_{0}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$$ 参见二次曲线的不变量。在这种情况下，标准方程可以通过二次曲线的一般方程做转轴（旋转）和移轴（平移）得到，且$a, b$是$\lambda ^{2}-I_{1}\lambda +I_{2}=0$的两个解。

属性

下文的讨论均假设$a>b>0$，当$b>a>0$时的结论相似，读者可自行推导。

焦点、焦距

上文提及的$F_1, F_2$称为焦点，联结两焦点的线段称为焦距，长度用$2c$表示，$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$称为半焦距。过两焦点的直线平行于$x$轴的充要条件为$a>b>0$。

一般方程下$c={\sqrt[{4}]{I_{1}^{4}-4I_{1}^{2}I_{2}}}.$

长轴、短轴

长轴，指经过两焦点，且两端点均在椭圆上的线段，长度为$2a$；短轴，指长轴的中垂线被椭圆所截的线段，长度为$2b$。

一般方程下由一元二次方程的求根公式，$2a=I_{1}+{\sqrt {I_{1}^{2}-4I_{2}}},2b=I_{1}-{\sqrt {I_{1}^{2}-4I_{2}}}.$

离心率

离心率用以描述一个椭圆的扁平程度，范围为$(0, 1)$，用字母$e$表示：$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\frac {c}{a}}$。

顶点、中心

左右顶点分别为$(\pm a,0)$，上下顶点分别为$(0,\pm b)$，中心为$(0,0)$。

一般方程下，中心坐标满足如下两个偏导数为零的中心方程组$$\begin{cases} F_1(x, y) & = a_{11}x + a_{12}y + a_1 & = 0 \\ F_2(x, y) & = a_{21}x + a_{22}y + a_2 & = 0 \\ \end{cases}$$ 当且仅当$a_1 = a_2 = 0$时中心在原点（无需移轴）。

弦、直径、对称轴

椭圆上任意不同两点的连线段称为椭圆的弦，最长和最短弦分别是长轴和短轴。

给定一个单位向量$v=(\cos \theta ,\sin \theta ),~(\theta \in [0,\pi ))$，椭圆上平行于这个向量的弦的中点都在同一条直线上，这一条直线截椭圆得到的线段称为椭圆共轭于方向$v$的直径，其所在直线的方程是 $$F_{1}(x,y)\cos \theta +F_{2}(x,y)\sin \theta =0.$$ 根据中心方程组，直径一定过中心。进一步，共轭于方向$v$的直径也有一个方向$u$，且共轭于方向$u$的直径的方向是$v$，在这个意义下我们称这两个直径是一对共轭的直径。特别注意：共轭直径对未必互相垂直。

我们知道对称轴满足性质：它是某族平行弦的中点且和这组平行弦垂直，进一步反过来也对，即共轭于方向$v$的直径的方向和$v$垂直，那么它就是对称轴，在椭圆中，对称轴的方向称为主方向，它是$I_2$对应的矩阵的特征方向，即对称轴的方向$(\cos \theta ,\sin \theta )$适合下面两个线性方程组之一： $${\begin{cases}(a_{11}-a)\cos \theta +a_{12}\sin \theta =0,\\a_{12}\cos \theta +(a_{22}-a)\sin \theta =0,\\\end{cases}}\quad {\begin{cases}(a_{11}-b)\cos \theta +a_{12}\sin \theta =0,\\a_{12}\cos \theta +(a_{22}-b)\sin \theta =0,\\\end{cases}}$$其中$a, b$是$I_2$对应的矩阵的特征值即满足$\lambda ^{2}-I_{1}\lambda +I_{2}=0.$

特别地，当一般方程中$a_1 = a_2 = 0$时椭圆的对称轴方程是 $$a_{12}(x^{2}-y^{2})-(a_{11}-a_{22})xy=0.$$

切线、法线

一条直线和椭圆有三种位置关系：相离、相交和相切（交于重合的两点），设直线$l$经过定点$M(x_{0},y_{0})$且方向向量是${\vec {v}}=(X,Y)$，则其参数方程是 $${\begin{cases}x=x_{0}+tX,\\y=y_{0}+tY,\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R} ,$$ 将该参数方程带入二次曲线一般方程中，设 $$\Delta := 4( XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0))^2 - 4\varphi(X, Y)F(x_0, y_0).$$ 那么$\Delta = 0$时方程有两个重合的实根，这时直线$l$与椭圆相切，与椭圆的交点称为切点。

设$M_{0}(x_{0},y_{0})$在椭圆$F(x, y) = 0$上，当且仅当$F_1(x_0, y_0) F_2(x_0, y_0) \ne 0$时过点$M_{0}(x_{0},y_{0})$有椭圆$F(x, y) = 0$的唯一切线，它的方程是 $$(x-x_{0})F_{1}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F_{2}(x_{0},y_{0})=0.$$

过$F(x, y) = 0$外一点$M_{1}(x_{1},y_{1})$，如果椭圆的切线存在的话那么它的方程是 $$\begin{align} & \quad [F_1^2 (x_1, y_1) - a_{11} F(x_1, y_1)] (x - x_1)^2 \\ & + [F_2^2 (x_1, y_1) - a_{22} F(x_1, y_1)] (y - y_1)^2 \\ & + [F_1 (x_1, y_1) F_2 (x_1, y_1) - a_{12} F(x_1, y_1)] (x - x_1)(y - y_1) = 0. \end{align}$$ 经过椭圆$F(x, y) = 0$上一点$M_{0}(x_{0},y_{0})$且与该点处的切线相垂直的直线称作椭圆在这一点处的法线，方程是 $$\dfrac{(x - x_0)}{F_1 (x_0, y_0)} = \dfrac{(y - y_0)}{F_2 (x_0, y_0)}.$$

标准方程下过椭圆上一点$(x_0, y_0)$的椭圆的切线方程是 $${\dfrac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\dfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.$$ 法线是方程 $$a^{2}y_{0}x+b^{2}x_{0}y=(a^{2}+b^{2})x_{0}y_{0}.$$

参数方程

椭圆的参数方程为$${\begin{cases}x=a\cos {\theta },\\y=b\sin {\theta },\end{cases}}\quad \theta \in (-\pi ,\pi ).$$ 参数的几何意义不是简单的$\arctan {\dfrac {y}{x}}$，而是$\arctan {\dfrac {ay}{bx}}$（即需要仿射变换为圆）。

极坐标方程

根据第二定义，到定点$F$与定直线$l~(F\not \in l)$距离之比为定值$e$的点的轨迹. 不妨设$F$为极点，$l:x=-m$为定直线，那么这个椭圆的极坐标方程是 $$\rho ={\frac {em}{1-e\cos {\theta }}}.$$ 这里$e\in (0,1)$是离心率。圆不能用上面的方法表示。

在某些问题中使用极坐标方程可以简化分析。

几何性质

1. 面积：由于椭圆本质上是圆的位似变换后的图形，故易得面积为$\pi ab$.
2. 周长：椭圆周长无初等表达形式，但拉马努金曾给出近似度较高的公式$C\thickapprox \pi [3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}]$. 其精确周长为$4 a E(e)$，其中函数$E$为第二类完全椭圆积分。
3. 椭圆上任意一对共轭直径的平方和是常数$4(a^{2}+b^{2}).$
4. 经过椭圆与其和直径的交点的切线的方向一定是这个直径的共轭方向。
5. 椭圆的过焦点做任意椭圆的切线的垂线，垂足的轨迹是以椭圆的对称中心为圆心，半长轴为半径的一个圆。

应用

开普勒第一定律

开普勒第一定律说明了：行星在围绕恒星公转时沿椭圆轨道运动，恒星在该椭圆的一个焦点上。

几何光学

在椭圆形的面镜内，从一个焦点出发的光线总能会聚到另一个焦点上。