检验函数

检验函数是一个假设检验问题的检验，它等同于给定了一个假设检验问题的拒绝域。

概念

假设有检验问题 $$H_0 \longleftrightarrow H_1.$$ 检验函数是定义在样本空间上取值于$[0,1]$的函数，表达了给定样本$X$后否定零假设$H_0$的概率。

特别地，当上述假设检验问题的拒绝域是$W$，接受域是$D$，那么检验函数就是 $$\varphi(x) = \begin{cases} 1, & x \in W, \\ 0, & x \in D. \end{cases}$$这种检验称为非随机化检验。

随机化实验

如果$\varphi(x)$取值不止两个$\{ 0, 1\}$，我们就称这样的检验为随机化检验，一般在离散情形下随机化检验是常常出现的。例如假设一个参数检验问题的检验统计量是$T(X)$，当$T(X) > c$时拒绝原假设而$T(X) < c$时接受原假设。但是在$T(X) = c$时会出现问题，根据检验统计量的分布可以确定出$T(X) = c$时拒绝原假设的概率$r$，这时可以做一个随机化试验确定是接受还是拒绝原假设。这时检验函数为 $$\varphi(x) = \begin{cases} 1, & T(X) > c, \\ r, & T(X) = c, \\ 0, & T(X) < c. \end{cases}$$

参考资料

1. 韦来生, 《数理统计（第二版）》, 科学出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.