中文数学 Wiki
Advertisement

在場論中,梯度是一個衡量一個的微分性質的量,梯度也是只和場有關而與坐標選取無關的量。

概念[]

對於一個三維區域上的可微數量場,選定一個直角坐標系可以寫作,定義它的梯度

有時也記作

可以證明,梯度是和坐標系的選取無關的量,因此上述定義是合理的。

柱坐標系中,可以寫作,它的梯度

球坐標系中,可以寫作,它的梯度

性質[]

  1. 對於過點沿方向導數,有如下計算公式
  2. 在點的所有方向中,梯度的方向是在這一點附近的值增長最快的方向,即對任意單位向量
  3. 在點的梯度可過點的等值面正交。

梯度場[]

對於一個區域上的可微數量場,它的梯度是一個向量值函數,因此由梯度定義了一個的向量場,這個場稱為數量場的梯度場,數量函數稱為梯度場的勢函數。

運算性質[]

  1. 線性性:設是多元數量函數,為實常數,則
  2. 是多元數量函數,則
  3. 是多元數量函數,,則
  4. 是一元實函數,是多元數量函數,則
  5. 是一元實函數,是多元數量函數,則

推廣[]

在平面數量場中,若選取直角坐標系,可以寫作,梯度計算公式為

極坐標系中,可以寫作,它的梯度

對於一個一般的多元函數,同樣可以定義它的梯度

其中,中第個坐標軸的同向單位向量。

這樣,類似可以定義它的方向導數,即在單位向量方向上的方向導數是

上下節[]

  • 上一節:積分曲線
  • 下一節:通量

參考資料

  1. 崔尚斌, 《數學分析教程(下)》, 科學出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.
Advertisement