在場論中,梯度是一個衡量一個場的微分性質的量,梯度也是只和場有關而與坐標選取無關的量。
概念[]
對於一個三維區域
上的可微數量場
,選定一個直角坐標系
,
可以寫作
,定義它的梯度

有時也記作

。
可以證明,梯度是和坐標系的選取無關的量,因此上述定義是合理的。
在柱坐標系中,
可以寫作
,它的梯度

在球坐標系中,
可以寫作
,它的梯度

性質[]
- 對於過點
沿
的方向導數,有如下計算公式
- 在點
的所有方向中,梯度的方向是
在這一點附近的值增長最快的方向,即對任意單位向量
,
- 在點
的梯度可過點
的等值面正交。
梯度場[]
對於一個區域
上的可微數量場
,它的梯度
是一個向量值函數,因此由梯度定義了一個
的向量場,這個場稱為數量場
的梯度場
,數量函數
稱為梯度場
的勢函數。
運算性質[]
- 線性性:設
是多元數量函數,
為實常數,則
- 設
是多元數量函數,則
- 設
是多元數量函數,
,則
- 設
是一元實函數,
是多元數量函數,則
- 設
是一元實函數,
是多元數量函數,則
推廣[]
在平面數量場
中,若選取直角坐標系,
可以寫作
,梯度計算公式為

在
極坐標系中,

可以寫作

,它的梯度

對於一個一般的多元函數
,
,同樣可以定義它的梯度

其中,

是

中第

個坐標軸的同向單位向量。
這樣,類似可以定義它的方向導數,即在單位向量
方向上的方向導數是

上下節[]
參考資料