梯度

在场论中，梯度是一个衡量一个场的微分性质的量，梯度也是只和场有关而与坐标选取无关的量。

概念

对于一个三维区域$\mathit{\Omega}$上的可微数量场$u$，选定一个直角坐标系$(\boldsymbol{i, j, k})$，$u$可以写作$u(x, y, z)$，定义它的梯度

$$\nabla u := u_x \boldsymbol{i} + u_y \boldsymbol{j} + u_z \boldsymbol{k} = \dfrac{\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j} + \dfrac{\partial u}{\partial z} \boldsymbol{k}.$$

有时也记作$\textbf{grad}~u$。

可以证明，梯度是和坐标系的选取无关的量，因此上述定义是合理的。

在柱坐标系中，$u$可以写作$u(\rho, \varphi, z)$，它的梯度

$$\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial \rho} \boldsymbol{e}_\rho + \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} \boldsymbol{e}_\varphi + \dfrac{\partial u}{\partial z} \boldsymbol{k}.$$

在球坐标系中，$u$可以写作$u(r, \theta, \varphi)$，它的梯度

$$\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial r} \boldsymbol{e}_r + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial \theta} \boldsymbol{e}_\theta + \dfrac{1}{r\sin\theta} \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} \boldsymbol{e}_\varphi.$$

性质

1. 对于过点$P \in \mathit{\Omega}$沿$\boldsymbol{l} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$的方向导数，有如下计算公式
   $$\dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} = \nabla u \cdot \boldsymbol{l} = u_x \cos \alpha + u_y \cos \beta + u_z \cos \gamma.$$
2. 在点$P \in \mathit{\Omega}$的所有方向中，梯度的方向是$u$在这一点附近的值增长最快的方向，即对任意单位向量$\boldsymbol{l} \in \R^3$，$\left| \dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}(P) \right| \leqslant |\nabla u(P)|.$
3. 在点$P \in \mathit{\Omega}$的梯度可过点$P \in \mathit{\Omega}$的等值面正交。

梯度场

对于一个区域$\mathit{\Omega}$上的可微数量场$u$，它的梯度$\nabla u$是一个向量值函数，因此由梯度定义了一个$\mathit{\Omega}$的向量场，这个场称为数量场$u$的梯度场$\nabla u$，数量函数$u$称为梯度场$\nabla u$的势函数。

运算性质

1. 线性性：设$u, v$是多元数量函数，$a, b$为实常数，则$\nabla (au+bv) = a \nabla u + b \nabla v;$
2. 设$u, v$是多元数量函数，则$\nabla (uv) = v \nabla u + u \nabla v;$
3. 设$u, v$是多元数量函数，$v \ne 0$，则$\nabla (u/v) = (v \nabla u - u \nabla v)/v^2;$
4. 设$u$是一元实函数，$v$是多元数量函数，则$\nabla (u \circ v) = (u' \circ v) \nabla v;$
5. 设$u$是一元实函数，$v_1, v_2, \cdots, v_n$是多元数量函数，则$\nabla u(v_1, v_2, \cdots, v_n) = \sum_{k=1}^n u_k (v_1, v_2, \cdots, v_n) \nabla v_k.$

推广

在平面数量场$u$中，若选取直角坐标系，$u$可以写作$u(x, y)$，梯度计算公式为

$$\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j}.$$

在极坐标系中，$u$可以写作$u(r, \theta)$，它的梯度

$$\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial r} \boldsymbol{e}_r + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial \theta} \boldsymbol{e}_\theta.$$

对于一个一般的多元函数$u(\boldsymbol{x})$，$\boldsymbol{x} \in \R^d$，同样可以定义它的梯度

$$\nabla u = \sum_{k=1}^d \dfrac{\partial u}{\partial x_k} \boldsymbol{e}_k.$$

其中，$\boldsymbol{e}_k$是$\R^d$中第$k$个坐标轴的同向单位向量。

这样，类似可以定义它的方向导数，即在单位向量$\boldsymbol{l}$方向上的方向导数是

$$\dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} = \nabla u \cdot \boldsymbol{l}.$$

上下节

• 上一节：积分曲线
• 下一节：通量

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.