格同态

在格论中，两个格之间的同态关系（homomorphism of the lattice）是反映它们之间结构相似的概念。

概念

设有两个格$(S, \leqslant_1)$和$(T, \leqslant_2)$，它们分别诱导了并交运算$\lor_1, \land_2$和$\lor_2, \land_2$，如果存在一个映射$\varphi: S \to T$满足

1. $\forall a, b \in S, \varphi(a \land_1 b) = \varphi(a) \land_2 \varphi(b);$
2. $\forall a, b \in S, \varphi(a \lor_1 b) = \varphi(a) \lor_2 \varphi(b).$

我们就称$(S, \leqslant)$和$(T, \leqslant)$同态，并称$\varphi$是一个同态映射。

若$\varphi$是单射，则称$\varphi$是单同态；若$\varphi$是满射，则称$\varphi$为满同态；既单又满的映射$\varphi$称为同构，此时记$S \cong T.$

性质

假设同上，同态映射$\varphi$保持了并交运算，并且还保持了序关系，即 $$\forall a, b \in S, a \leqslant b \Longrightarrow \varphi(a) \leqslant \varphi(b).$$ 上述命题反之不真。

若$\varphi$是同构，则有 $$\forall a, b \in S, a \leqslant b \Longleftrightarrow \varphi(a) \leqslant \varphi(b).$$ 在$\varphi$是双射的基础上，同构和以上条件等价。

这里省略了$S, T$上序关系的下标，读者不难根据上下文推断每个$\leqslant$各代表的是哪个格里的序关系。

嵌入和子格

假设$L$是一格，$L'$是$L$的非空子集，且$L'$连带某种交并运算构成一格，如果存在格同态$\alpha: L' \to L$，我们就说$L'$可以嵌入（embed）到$L$中。可以证明$L'$是$L$的子格，反过来也是对的。

幂格

假设$P, Q$是两个偏序集，用$Q^P$表示$P \to Q$的所有保持序关系的映射，定义$Q^P$上的序关系 $$\forall f, g \in Q^P, f \leqslant g \iff \forall p \in P, f(p) \leqslant g(p).$$ 如果$Q$是一个格，那么$Q^P$也是一个格，称为幂格。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.