格

抽象代数中，格（lattice）是一个基于偏序关系建立起来的代数结构，是特殊的偏序集。

概念

设集合$(S, \leqslant)$是一个偏序集，且对于任意元素$a, b \in S$，它们关于偏序$\leqslant$都有最大下界（greatest lower bound）和最小上界（least upper bound），我们就称代数系统$(S, \leqslant)$是一个格。$a, b$的最大下界记作$\operatorname{glb} (a, b) = a \land b$，最小上界记作$\operatorname{lub} (a, b) = a \lor b$。

例如

1. 一个集合$S$的幂集$2^S$连带集合间的包含关系$\subseteq$构成一格$(2^S, \leqslant)$，最大下界是交集，最小上界是并集；
2. 整数连同整数的小于等于关系构成一格$(\Z, \leqslant)$，最大下界是最小值，最大上界是最大值，即$a \land b = \min \{ a, b \}, a \lor b = \max \{ a, b \};$
3. 全体正整数连同整数之间的整除关系$(\N^+, |)$构成一格，最大下界是最大公因数，最小上界是最小公倍数。

对偶格

设$(S, \leqslant)$是一格，则定义另一种偏序关系 $$a \geqslant b \Longleftrightarrow b \leqslant a, \quad \forall a, b \in S$$ 那么$(S, \geqslant)$也是一格，称其为$(S, \leqslant)$的对偶格，其上的交（并）运算是$(S, \leqslant)$上对应的并（交）运算。

由对偶原理，在$(S, \leqslant)$上成立的命题$P$在$(S, \geqslant)$上的对偶命题$P'$成立。

格上的关系

关系$\land, \lor$是一格$(S, \leqslant)$上的二元运算，分别称作交运算（meet operation）和并运算（join operation），设$a, b, c \in S$，它们满足性质

1. 幂等律：$a \land a = a \lor a = a;$
2. 交换律：$a \land b = b \land a, a \lor b = b \lor a;$
3. 结合律：$(a \land b) \land c = a \land (b \land c), (a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c);$
4. 吸收律：$a \land (a \lor b) = a \lor (a \land b) = a.$

上面的两种运算，连同一个集合$S$可以唯一确定一个格。

由吸收律可推出幂等律，可以证明，一个代数系统$(S, \leqslant)$是一格当且仅当它关于其诱导的$\land, \lor$运算满足交换律、结合律以及吸收律。

因此，如下的一些例子也是格：

1. 群$G$的正规子群之全体$N(G)$，其中交运算定义为$N_1 \land N_2 = N_1 \cap N_2$，并运算定义为$N_1 \lor N_2 = N_1 N_2 = \{n_1 n_2: n_1 \in N_1, n_2 \in N_2 \}.$
2. 环$R$的理想之全体$I(R)$，其中交运算定义为$I_1 \land I_2 = I_1 \cap I_2$，并运算定义为$I_1 \lor I_2 = \{i_1 + i_2: i_1 \in I_1, i_2 \in I_2 \}.$

子格

设$(S, \leqslant)$是一格，$T$是$S$的非空子集，且$T$关于$S$中的运算$\land, \lor$封闭，可以得到$(T, \leqslant)$是一个格，我们称其为$(S, \leqslant)$的子格（sublattice），记作$T \leqslant S$。

注意仅有条件“$T$是$S$的非空子集”虽然可以推出$T$是一偏序集，但不能推出它是一个格。

例如，$(2^S, \leqslant)$的子格可以是满足条件$A \subseteq S$的$(2^A, \leqslant)$，$(\N^+, |)$的子格可以是$(d\N^+, |)$，其中$d\N^+ = \{ da | a \in \N^+ \}.$

可以使用格同态的嵌入来定义子格，参见格同态。

有界格

在一个格$(S, \leqslant)$中，如果存在元素$0 \in S$，对任意的$a \in S$，均有$0 \leqslant a$我们就称$(S, \leqslant)$有下界$0$，同样，如果存在元素$1 \in S$，对任意的$a \in S$，均有$a \leqslant 1$我们就称$(S, \leqslant)$有上界$1$。

上下界若存在则必唯一，既有上界又有下界的格称为有界格（bounded lattice）。例如，上述定义的$(2^S, \subseteq)$是有界格，$0 = \varnothing, 1 = S$；其它两个例子$(\Z, \leqslant), (\N^+, |)$不是有界格。

关于元素$0, 1:$

1. $0,1$分别是运算$\land, \lor$的零元，因为$0 \land a = 0, 1 \lor a = 1;$
2. $0,1$分别是运算$\lor, \land$的单位元，因为$0 \lor a = a, 1 \land a = a.$

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.