样本空间

样本空间是定义概率空间的基础概念，是对现实生活中研究随机现象的数学抽象。

定义

对于一个随机试验，有时我们需要知道它的所有可能结果，这些结果我们称它们是样本点，通常用$\omega$表示，所有的样本点构成一个样本空间，通常用$\mathit{\Omega}~$表示。

样本空间$\mathit{\Omega}~$与样本点$\omega$实际上可以理解为集合与元素的关系，这是集合论应用于概率公理化的基础。

对所有可能结果的抽象，是用概率论方法研究问题的第一步。有时候，随机现象的某些特征与我们所做的研究没有关系，我们把这些特点忽略掉再建立样本空间，不仅可以使我们关注的性质更加突出，还可以将这个样本空间推广到其它相似的场景，这实际上就是从实际问题中抽象数学概念的过程。

我们把有限个（最多可列个）样本点的样本空间，称为离散样本空间，否则称为非离散样本空间。

事件

我们来严格定义样本空间中的事件。我们认为，$\mathit{\Omega}~$中的事件$S$是集合$\mathit{\Omega}~$的一个子集，即$S \in 2^{\mathit{\Omega}}$，我们依旧可以使用英文大写字母来表示事件。

我们认为，全事件（必然事件）可以取到样本空间的所有样本点，也记为$\mathit{\Omega}~$，空事件（不可能事件）不含有任何一个样本点，记作$\varnothing$，这里沿用集合中的记号。

对于有有限个样本点（设有$n$个）的样本空间，其上的事件共有$2^n$个。

事件的运算

事件的运算和集合的运算是平行的。以下一个表格就列出了常见的同一样本空间中的事件的一些运算。

符号	概率论	集合论
$\overline{A}$	$A$的对立事件	$A$在$\mathit{\Omega}~$中的补集
$A \subset B$	若$A$发生，则$B$一定发生	$A$是$B$的子集
$A = B$	$A$和$B$等价	$A$和$B$相等
$A \cap B$或$AB$	$A, B$同时发生	交集
$A \cup B$	$A, B$至少一个发生	并集
$A-B$	$A$发生，$B$不发生	差集
$AB = \varnothing$	$A, B$最多只有一个发生	$A, B$不相交
$A + B$	$A, B$有且只有一个发生	$A, B$的无交并

和集合的情形一样，判断两个事件相等需要满足$A \subset B$和$B \subset A$；对于差集，我们不要求$B \subset A$，它可以理解为将$A$中除去和$B$相交的部分；最后一个记号，有的习惯直接表示为并，而没有无交之意。

因此，事件的运算可以像集合运算那样进行，例如全事件公式$A\overline{B} = A - AB$。

设$A_1, A_2 ,\cdots, A_n$是有限个事件，我们通常有记号$\bigcup_{i=1}^n A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n; \bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n.$

对偶原理

又称 De Morgan 定理（得·摩根律），它是说 $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$ 可以用数学归纳法将它推广到有限个事件的情形。

Venn 图

像集合那样，有时也可使用 Venn 图来表示有限个（例如2、3或4）事件的相互关系，例如有三个事件$A, B, C$，如下图

显然有$A~\overline{B}~\overline{C} = A \cup B \cup C - B - C + B~C.$

上下节

• 上一节：随机事件
• 下一节：概率空间

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.