柱面

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在這裡你將了解到有關空間曲面曲線以及空間變換的相關知識，希望你能收穫更多！

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在三維空間中，由一族相互平行的直線構成的曲面稱為柱面，柱面可以看成：直線沿著某個曲線平行移動而形成的曲面，或者某個曲線沿著一條直線平行移動所形成的曲面。

概念

一條直線$l$沿著一條空間曲線$C$平行移動時所形成的曲面稱其為柱面。$l$稱為母線，$C$稱為準線。

我們容易知道柱面的母線和準線都不唯一，但母線的方向都是一樣的，我們稱這個方向為柱面的方向，除平面外，柱面都有唯一確定的方向。

平面也是柱面，它的母線方向可以視為任何方向，準線是任何平面內的不與母線平行的開曲線。

方程

母線平移構造

我們假定一個柱面的方向向量為$\vec{v} = {(a, b, c)}^{\operatorname{T}}$, 準線$C:\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$

點$P {(x, y, z)}^{\operatorname{T}}$在這個柱面上等價於點$P$在某一條母線上，即$\exists P_0 {(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}} \in C, s.t. \overrightarrow{P_0 P}$平行於$\vec{v}.$於是有

$\begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0, \\ G(x_0, y_0, z_0) = 0, \\ x = x_0 + a t, \\ y = y_0 + b t, \\ z = z_0 + c t. \end{cases}$

消去參數$x_0, y_0, z_0$得

$\begin{cases} F(x - a t, y - b t, z - c t) = 0, \\ G(x - a t, y - b t, z - c t) = 0. \end{cases}$

再消去參數$t$，就是所求的柱面方程。

準線平移構造

接下來我們在用另一種方法構造柱面方程，已知準線參數方程為$\begin{cases} x = f(t), \\ y = g(t), \qquad t \in X. \\ z = h(t), \end{cases}$

沿著向量$\vec{v} = {(a, b, c)}^{\operatorname{T}}$的方向移動準線，得到柱面的參數方程 $\begin{cases} x = f(t) + a k, \\ y = g(t) + b k, \\ z = h(t) + c k, \end{cases} \quad \begin{matrix} k \in \mathbb{R}, \\ t \in X. \end{matrix}$

方程特點

若一個柱面的母線平行於$x$（或$y$，$z$軸），則柱面方程中不含$x$（或$y$，$z$），反之亦成立。

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