在三维空间中,由一族相互平行的直线构成的曲面称为柱面,柱面可以看成:直线沿着某个曲线平行移动而形成的曲面,或者某个曲线沿着一条直线平行移动所形成的曲面。
概念
一条直线
沿着一条空间曲线
平行移动时所形成的曲面称其为柱面。
称为母线,
称为准线。
我们容易知道柱面的母线和准线都不唯一,但母线的方向都是一样的,我们称这个方向为柱面的方向,除平面外,柱面都有唯一确定的方向。
平面也是柱面,它的母线方向可以视为任何方向,准线是任何平面内的不与母线平行的开曲线。
方程
母线平移构造
我们假定一个柱面的方向向量为
, 准线
点
在这个柱面上等价于点
在某一条母线上,即
平行于
于是有
消去参数
得
再消去参数
,就是所求的柱面方程。
准线平移构造
接下来我们在用另一种方法构造柱面方程,已知准线参数方程为
沿着向量
的方向移动准线,得到柱面的参数方程
方程特点
若一个柱面的母线平行于

(或

,

轴),则柱面方程中不含

(或

,

),反之亦成立。