计算行列式的析因子法是说对于一个文字行列式来说,通过确定其所有因子以及最高次项的次数以及系数进而确定行列式结果的方法,其依据是判断两个多项式相等的条件。
概述[]
对于一个
阶文字行列式而言,它的结果应是一个多项式,如果我们可以找到这个多项式的全部因子(包含重数),而如果也知道了最高次项的次数以及系数,那么就可以确定这个文字行列式的结果(用因式分解的形式写出)。在寻求根时可以用特殊值验证,在寻求某个根的重数时,可以用多项式的导数判断。
行列式的求导法则:

对于数字行列式,我们可以将某个数视作变元,这样就构造出了文字行列式,而原来行列式的值可以认为是文字行列式(文字多项式)在某一点的值。
例子[]

显然

展开式应是首项系数为

的

次多项式,

是

的一个根,现判断它的重数。
由于

右端的式子,每个按照第

行展开后都是相同的

,于是

机械地重复下去,可知,

的

阶导数和

均只相差一个非零常数倍,

。对于

,

都是

的一个根,而显然在

时,

不是

的根,由多项式导式与根的重数的关系可知,

是

的

重根。
设
是所有元素都是
的
阶方阵,那么由特征根的知识,
的所有根的和(包括重数)
所以,
的唯一一个非零根就是
因此
实际上,这个例子还可简单地通过化三角形来解决,但这里以它为例仅仅是为了演示析因子法的操作步骤。
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