極坐標系

極坐標系，是數學中一種能夠表達坐標位置的圖形，包含極點（相當於平面直角坐標系中的原點）和一條端點為極點的射線 $Ox$ ，稱為極軸. 其上的點採用有序數對 $(\rho, \theta)$ 表示，其中 $\rho$ 代表到極點的距離， $\theta$ 代表該點與極點的連線與 $Ox$ 的夾角. 特別的，當 $\rho = 0$ 時，定義 $\theta=0$ .

應用[]

極坐標系來源於現實生活和物理學中表達方位的需要，例如在航海中可以使用雷達探測某物在何方位，距離多少，這裡實際上就採用了使用距離和夾角來確定方位的思想. 在數學中，部分曲線在平面直角坐標系中只能採用三角函數來表達，而在極坐標系中可以更為簡潔地表達. 具體例子如下：

極坐標系方程[]

對於一個在極坐標系中的曲線，其方程通常表述為 $\rho$ 關於 $\theta$ 的方程.

圓[]

對於一個圓心為 $( \rho_0 , \phi )$ ，半徑為 $r$ 的圓，方程為 $\rho_0 ^2 - 2 \rho \rho_0 \cos{ (\theta - \phi) }+\rho ^ 2 = r^2$ 。

證明：

將圓心坐標變換為平面直角坐標後為 $( \rho \cos{\phi} , \rho \sin{\phi} )$ .

在平面直角坐標系中，它的方程為 $(x - \rho \cos{\phi}) ^ 2 + (y - \rho \sin{\phi}) ^ 2 = r^2$ .

由此可設極坐標系中該圓上一點的坐標為 $(\rho_0 , \alpha)$ ，其對應平面直角坐標系坐標為 $(\rho_0 \cos{\alpha} , \rho_0 \sin{\alpha} )$ .

代入該方程，化簡即可得證.

直線[]

經過點 $M( \rho_0 , 0)$ ，且與極軸夾角為 $\varphi$ 的直線的方程為 $\rho \sin{(\varphi - \theta)} = \rho_0 \sin{\varphi}$ .

證明：不妨設該直線上一點 $P(\rho , \theta)$ . 則在 $\triangle{OPM}$ 中，由正弦定理可得 $\frac{\rho}{\sin{(\pi - \varphi)}} = \frac{\rho_0}{\sin{(\varphi - \theta)}}$ ，化簡即可得證.

由此可見，並不是所有的極坐標方程都是簡潔的，它只適用於部分曲線. 在實際應用時，應使用更適合曲線的特點和題意來選用更適合的方程.

對於拋物線的定義和橢圓第二定義而言，它們都是有關定點和定直線的，由此也不難求出雙曲線的有關定點與定直線的定義. 綜上，這三種圓錐曲線可以歸納為：到定點 $F$ 與定直線 $l (F \not\in l)$ 距離之比為定值 $e$ 的點的軌跡. 不妨設 $F$ 為極點，在其左邊的定直線 $l$ 到其距離為 $m$ ，並做 $FH \bot l$ ，垂足為 $H$ ，以 $Fx$ 為極軸建立極坐標系.

設在圓錐曲線上有一動點 $M (\rho , \theta)$ ，則易得其到 $l$ 的距離為 $(m+\rho \cos{\theta})$ .

由橢圓曲線的統一定義，即 $\frac{|MF|}{m+ \rho \cos{\theta}} = \frac{\rho}{m+ \rho \cos{\theta}} = e$ ，可得圓錐曲線的統一極坐標方程為 $\rho = \frac{em}{1-e \cos{\theta}}$ . 當然，圓不屬於其中.

玫瑰線[]

玫瑰線是由極坐標方程 $\rho = a \cos{k \theta}$ 或 $\rho = a \sin{k \theta}$ 所定義的曲線. 相較於其平面直角坐標系內的方程（較為簡潔的形式也僅有參數方程）而言，極坐標方程更為簡潔.

等速螺線[]

等速螺線，又稱 Archimedes 螺線，是極坐標系平面上一質點 $M$ 從該平面上的任意點 $O( \rho_0, 0)$ 出發，沿一射線 $OA$ 以 $\overrightarrow{OA}$ 方向做勻速運動，同時該射線也繞其端點做等角速度旋轉，此時 $M$ 所形成的軌跡. 顯然推導其在平面直角坐標系的方程過於繁瑣，而極坐標的形式便頗為簡潔： $\rho = \rho_0 + \frac{v}{\omega} \cdot \theta$ ，其中 $v$ 是點 $M$ 運動的速度， $\omega$ 是射線 $OA$ 旋轉的角速度.

證明：設旋轉時間為 $t$ ，在經過時間 $t$ 後，可得 $\rho = \rho_0 +vt$ ， $\theta = \omega t$ ，複合二者即可得證.

坐標變換[]

由平面直角坐標系中 $x, y$ 的意義，易得 $\rho = x^2 + y^2$ ， $\tan{\theta} = \frac{y}{x}$ ，當然注意要根據所在的象限來正確計算.

反過來，也可得到 $x = \rho \cos{\theta}$ ， $y = \rho \sin{\theta}$ .

柱坐標系[]

柱坐標系是在二維的極坐標系的基礎之上，添加了垂直於極坐標平面的 $z$ 軸用以表示高度，因為極坐標類似於一個個同心圓，新增的軸相當於高，柱坐標系因此得名. 柱坐標系上的點通常用 $(\rho , \theta , z)$ 表示，與直角坐標系的轉換同上類似可得.

球坐標系[]

球坐標系也是在極坐標系的基礎之上添加高度，但與之不同的是，柱坐標系多使用的 $z$ 用於表示高度，類似於直角坐標系，是數字；而球坐標系多使用的 $\varphi$ 用於表示該點與球心的連線在 $xy$ -平面上的投影與正 $x$ -軸的夾角，是角度，通俗而言是「不在極坐標平面上的角」. 球坐標系上的點用 $(\rho , \theta , \varphi)$ 表示， $\rho = 0$ 時 $\theta$ 和 $\varphi$ 均無意義；而 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ 時 $\varphi$ 無意義.