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极坐标系,是数学中一种能够表达坐标位置的图形,包含极点(相当于平面直角坐标系中的原点)和一条端点为极点的射线,称为极轴. 其上的点采用有序数对表示,其中代表到极点的距离,代表该点与极点的连线与的夹角. 特别的,当时,定义.

应用[]

极坐标系来源于现实生活和物理学中表达方位的需要,例如在航海中可以使用雷达探测某物在何方位,距离多少,这里实际上就采用了使用距离和夹角来确定方位的思想. 在数学中,部分曲线在平面直角坐标系中只能采用三角函数来表达,而在极坐标系中可以更为简洁地表达. 具体例子如下:

极坐标系方程[]

对于一个在极坐标系中的曲线,其方程通常表述为关于的方程.

[]

对于一个圆心为,半径为的圆,方程为

证明:

将圆心坐标变换为平面直角坐标后为.

在平面直角坐标系中,它的方程为.

由此可设极坐标系中该圆上一点的坐标为,其对应平面直角坐标系坐标为.

代入该方程,化简即可得证.

直线[]

经过点,且与极轴夹角为的直线的方程为.

证明:不妨设该直线上一点. 则在中,由正弦定理可得,化简即可得证.

由此可见,并不是所有的极坐标方程都是简洁的,它只适用于部分曲线. 在实际应用时,应使用更适合曲线的特点和题意来选用更适合的方程.

圆锥曲线[]

对于圆而言极坐标方程已经求出,现在对于其他的圆锥曲线,不妨也给出统一的定义.

对于抛物线的定义和椭圆第二定义而言,它们都是有关定点和定直线的,由此也不难求出双曲线的有关定点与定直线的定义. 综上,这三种圆锥曲线可以归纳为:到定点与定直线距离之比为定值的点的轨迹. 不妨设为极点,在其左边的定直线到其距离为,并做,垂足为,以为极轴建立极坐标系.

设在圆锥曲线上有一动点,则易得其到的距离为.

由椭圆曲线的统一定义,即,可得圆锥曲线的统一极坐标方程为. 当然,圆不属于其中.

玫瑰线[]

玫瑰线是由极坐标方程所定义的曲线. 相较于其平面直角坐标系内的方程(较为简洁的形式也仅有参数方程)而言,极坐标方程更为简洁.

等速螺线[]

等速螺线,又称 Archimedes 螺线,是极坐标系平面上一质点从该平面上的任意点出发,沿一射线方向做匀速运动,同时该射线也绕其端点做等角速度旋转,此时所形成的轨迹. 显然推导其在平面直角坐标系的方程过于繁琐,而极坐标的形式便颇为简洁:,其中是点运动的速度,是射线旋转的角速度.

证明:设旋转时间为,在经过时间后,可得,复合二者即可得证.

坐标变换[]

由平面直角坐标系中的意义,易得,当然注意要根据所在的象限来正确计算.

反过来,也可得到.

柱坐标系[]

柱坐标系是在二维的极坐标系的基础之上,添加了垂直于极坐标平面的轴用以表示高度,因为极坐标类似于一个个同心圆,新增的轴相当于高,柱坐标系因此得名. 柱坐标系上的点通常用表示,与直角坐标系的转换同上类似可得.

球坐标系[]

球坐标系也是在极坐标系的基础之上添加高度,但与之不同的是,柱坐标系多使用的用于表示高度,类似于直角坐标系,是数字;而球坐标系多使用的用于表示该点与球心的连线在-平面上的投影与正-轴的夹角,是角度,通俗而言是“不在极坐标平面上的角”. 球坐标系上的点用表示,均无意义;而无意义.

从直角坐标系的点转换为球坐标系的点,可以使用以下公式,读者自证不难:

  • ,计算时注意象限.
  • ,计算时注意象限.

反之,也有如下公式:

从柱坐标系的点转换为球坐标系的点,有如下公式:

反之有:

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