极化恒等式是一个有关向量和二次型的著名恒等式。
二次型[]
我们可以将二次型的概念推广到一般的线性空间中,假设域
上的线性空间(不一定是有限维的)
上定义了一个共轭双线性函数
,即
满足:
- 第一对称性:

- 第二 Hermite 性:

这里
表示数
的共轭。定义如下函数

称为

上由

诱导的二次型,显然
内积可以诱导二次型。
一个二次型
的取值是实数当且仅当诱导它的函数
满足
极化恒等式[]
二次型有著名的极化恒等式:
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}q(x+y)-q(x-y)+{\text{i}}q(x+{\text{i}}y)-{\text{i}}q(x-{\text{i}}y){\big ]}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9046304d4edca0983eff03f81ec715f7fe8dddc6)
在实线性空间中简化为
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}q(x+y)-q(x-y){\big ]}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7151d57741043ac51373db5bd7ab6370563f8fa8)
由于内积诱导的二次型是内积诱导的范数之平方,因此当

是内积时,上式继续变为
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\big ]}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a0e6ffb504fbca05a75213cb55ce3f53ba803955)
在
Euclid 空间中内积诱导的范数就是 Euclid 距离的平方,即
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}|x+y|^{2}-|x-y|^{2}{\big ]}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f57f72f59df4d5c7dd2693e4c4f96263fccc6ef6)
参考资料