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极化恒等式是一个有关向量二次型的著名恒等式。

二次型[]

我们可以将二次型的概念推广到一般的线性空间中,假设域上的线性空间(不一定是有限维的)上定义了一个共轭双线性函数,即满足:

  1. 第一对称性:
  2. 第二 Hermite 性:

这里表示数的共轭。定义如下函数

称为上由诱导的二次型,显然内积可以诱导二次型。

一个二次型的取值是实数当且仅当诱导它的函数满足

极化恒等式[]

二次型有著名的极化恒等式:

在实线性空间中简化为
由于内积诱导的二次型是内积诱导的范数之平方,因此当是内积时,上式继续变为
Euclid 空间中内积诱导的范数就是 Euclid 距离的平方,即

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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