条件概率

在概率论中，有些问题是在一定的条件限制下讨论的，设$A, B \in \mathit{\Omega}~$，我们称在事件$B$发生的前提下事件$A$发生的概率为事件$A$的条件概率，记作$P(A|B).$

公理化定义

借助概率的公理化定义，我们也将条件概率施以公理化定义。

在概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$中，设$B \in \mathcal{F}, P(B) \ne 0$，则$\forall A \in \mathcal{F}$，定义

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$$

条件概率的条件——事件$B$实际杀那个是一种“信息”，一般是先验的，这部分信息可以帮助我们来推知$A$发生的可能性，这要比忽略$B$直接推断$A$要可靠。

当$P(B)=0$时，$P(AB) = 0$，条件概率$P(A|B)$为待定型。

上述概率的定义也是一个函数，它的定义域是全集中的事件$A$（而不是事件$B$），由于它本质上也是一个概率（容易验证），所以概率的性质对它也成立。

在古典概型中，设$m(B), m(AB)$是事件$A, AB$包含的基础事件总数，那么有$P(A|B) = \dfrac{m(AB)}{m(B)}$；在几何概型中，分子分母为事件的测度。

全概率公式

设有事件组$\{ A \}_{n=1}^\infty$，其中的任意两个事件互不相容且满足$\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \mathit{\Omega}$，那么对任意的$B \in \mathit{\Omega}$成立公式

$$P(B) = \sum_{n=1}^\infty P(A_n) P(B|A_n).$$

在多数实际问题中，上述只含有有限项，全概率公式应用广泛，是因为它可以将一个复杂多因素的问题分解为多个单因素的问题，从而逐个解决。

Bayes 公式

若事件$B$能且只能域两两不相容的事件$A_n, n = 1,2,\cdots$之一发生，那么成立公式

$$P(A_i|B) = \dfrac{P(A_i) P(B|A_i)}{\sum_{n=1}^\infty P(A_n) P(B|A_n)}$$

这个公式可以由全概率公式推出，它所描述的实际意义是：各种事件$A_n, n = 1,2,\cdots$导致事件$B$的发生，现在要“溯源”：现在已知$B$发生了，那么$P(A_i|B)$就是是事件$A_i$导致$B$发生的概率。

上下节

• 上一节：几何概型
• 下一节：事件独立性

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.