条件分布

概率论中，条件分布是随机向量的一个重要概念，它是刻画随机向量中各随机变量间相关性的重要工具。

概念

设$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$是一个$d$维随机向量，在$\boldsymbol{X}^{(1)} = (X_{i_1}, X_{i_2}, \cdots, X_{i_m}) \in D_1 \subset \R^m$的条件下$\boldsymbol{X}^{(2)} = (X_{i_1}, X_{i_2}, \cdots, X_{i_n}) \in D_2 \subset \R^n$发生这一事件所服从的概率分布，称作条件分布，即 $$P \{ \boldsymbol{X}^{(2)} \in D_2 | \boldsymbol{X}^{(1)} \in D_1 \} = \dfrac{P\{\boldsymbol{X}^{(1)} \in D_1, \boldsymbol{X}^{(2)} \in D_2\}}{P\{\boldsymbol{X}^{(2)} \in D_2\}}.$$ 我们要求$P\{\boldsymbol{X}^{(2)} \in D_2\} \ne 0$。

一般我们只考虑二元情形，即一个二维随机向量$(X,Y)$，在$Y \in D_1$的条件下$X \in D_2$的概率，其中$D_1, D_2$是区间且$P \{ Y \in D_1 \} \ne 0$。在条件分布中，我们最关心的是$Y$取单点值（为防止分母为零带来的待定型，也可要求它的取值在某点的无穷小邻域中）的情形，这时我们可以得到概率分布函数（关于$x$的函数） $$F(x|y) := P\{ X < x | Y = y \}.$$

二元情形

我们分离散型和连续型随机向量两类来研究条件分布。

离散型

设$(X,Y)$的联合分布列为 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (X, Y) & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & Y \\ \hline y_1 & p(x_1, y_1) & p(x_2, y_1) & p(x_3, y_1) & \cdots & p(y_1) \\ \hline y_2 & p(x_1, y_2) & p(x_2, y_2) & p(x_3, y_2) & \cdots & p(y_2) \\ \hline y_3 & p(x_1, y_3) & p(x_2, y_3) & p(x_3, y_3) & \cdots & p(y_3) \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline X & p(x_1) & p(x_2) & p(x_3) & \cdots & \\ \hline \end{array}$$ 那么条件分布 $$P \{ X = x_i | Y = y_j \} = \dfrac{P\{(X, Y) = (x_i, y_j)\}}{P\{Y = y_j\}} = \dfrac{p(x_i, y_j)}{p(y_j)}$$ 自然要求$p(y_j) \ne 0$，由概率的可列可加性可得到两个随机变量取若干个值时的分布。

连续型

设连续型随机向量$(X,Y)$关于$X$和$Y$的边缘分布的密度函数是$f_X (x), f_Y (x)$，注意到 $$P\{ X < x | Y = y \} = \lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{F(x, y+\Delta y) - F(x, y)}{F(+\infty, y+\Delta y) - F(+\infty, y)}$$ 自然可以导出 $$P\{ X < x | Y = y \} = \int_{-\infty}^x \dfrac{f(u, y)}{f_Y (y)} \mathrm{d}u.$$ 于是我们可以定义条件分布的概率密度函数 $$f(x|y) = \dfrac{f(x, y)}{f_Y (y)},$$ 同理 $$f(y|x) = \dfrac{f(x, y)}{f_X (x)}.$$ 上述均要求分母不为零才有意义。

上下节

• 上一节：边际分布
• 下一节：随机变量的独立性

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.