有补格

在格论中，有补格（complemented lattice）是一种特殊的有界格。

补元

设$(S, \leqslant)$是一个有界格，如果对于元素$a \in S$， $$\exists b \in S, a \land b = 0, a \lor b = 1.$$ 其中$0,1$分别是格$(S, \leqslant)$中的下界和上界。

我们就称$b$是$(S, \leqslant)$中元素$a$的补元。

性质

1. 一个有界格$(S, \leqslant)$中，元素$a$的补元未必存在，存在时也未必唯一。且当$b$是$a$的补元时，$a$也是$b$的补元，存在对称性，因此我们可以说这时$a, b$互为补元。
2. 有界格$(S, \leqslant)$中，下界和上界互为补元，且此时补元是唯一的。
3. 如果一个格的元素不只一个，那么这个格中不存在以自身为补元的元素。
4. 如果有限格中每个元素有且仅有一个补元，那么这个格是分配格，这个性质对无限格不一定成立。
5. 有界分配格中元素最多有一个补元。

有补格

如果一个有界格$(S, \leqslant)$中的任意元素都有补元，我们就称这个格$(S, \leqslant)$是有补格。例如，$(2^S, \subseteq)$就是有补格。

格中并不能保证补元的唯一性，但在有界分配格中，若一个元素有补元，则其必唯一。这是我们可以引入“有补分配格”的概念，例如$(2^S, \subseteq)$就是有补分配格。

有界分配格中，将所有具有补元的元素收集起来，连同原来格上的并交运算会形成一个子格。

相对有补格

给定一个格$L$及元素$a, b \in L, a \leqslant b$，我们把$\{ x: a \leqslant x \leqslant b \}$称作一个区间，记作$[a, b]$，它是$L$的子格。

有补分配格中每一个区间中的元素都有补，$x \in [a, b]$的补是$(\overline{x} \land b) \lor a.$

如果格$L$的所有区间都是有补格，我们称其为相对有补格（relatively complemented lattice），它和有补格之间没有必然关系。Bool 代数是相对有补格。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.