有界收敛定理

有界收敛定理（bounded convergence theorem）是 Lebesgue 积分理论中的一个收敛定理。

内容

假设$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间，$1<r\leqslant +\infty$，如果实值或复值函数序列$\{f_{n}\}\subset L^{r}(X)$几乎处处收敛到$f$，且$K=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{r}<+\infty$，那么对任意的$1\leqslant p<r$我们都有：对任意的$g\in L^{q}(X),{\dfrac {1}{q}}+{\dfrac {1}{r}}={\dfrac {1}{p}}$都有

$$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}g-fg\|_{p}=0.$$

如果取$X$满足$\mu(X) < +\infty$，$r=+\infty$，$p=q=1$，$g=\chi _{X}$，我们就得到了通常形式的有界收敛定理。

假设$(X, \mathcal{F}, \mu)$是有限测度空间，如果实值或复值的一致有界函数序列$\{ f_n \}$几乎处处收敛到$f$，那么$\|f_{n}-f\|_{1}\to 0.$

#定理1是更一般的定理的一个直接结果：

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$，$1 < p < +\infty$，$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$，如果$\{f_{n}\}\subset L^{p}(X)$几乎处处收敛到$f$且$K=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{p}<+\infty$，那么$\{ f_n \}$弱收敛，即对任意的$g\in L^{q}(X)$成立$\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int _{E}fg.$

证明

直接证明#定理3。首先，由 Fatou 引理我们可以得到$f\in L^{p}(X)$。任取$\varepsilon > 0$以及$g\in L^{q}(X)$。存在$N_{1}\in \mathbb {N}$使得当$n > N_1$的时候成立

$$\left|\int \left(f-f_{n}\right)g\mathrm {d} \mu \right|<\varepsilon .$$

由于$|g|^{q}\in L^{1}(X)$，这表明存在$\delta > 0$使得对任意的可测集$A$。只要$\mu(A) < \delta$就有

$$\left(\int _{A}|g|^{q}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}<{\dfrac {\varepsilon }{6K}}.$$

同时由$|g|^{q}\in L^{1}(X)$还可以得到存在可测集$B$使得$\mu (B)<\infty$以及

$$\left(\int _{X\setminus B}|g|^{q}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}<{\dfrac {\varepsilon }{6K}}.$$

由 Egorov 定理存在$B$的一个可测子集$E$使得$\mu (B\setminus E)<\delta$以及$f_n$在$E$上一致收敛到$f$。于是存在$N_{2}\in \mathbb {N}$使得当$n>N_{2}$的时候，对任意的$x \in E$都有

$$\left|f(x)-f_{n}(x)\right|<{\dfrac {\varepsilon }{3\|g\|_{q}\mu (E)^{\frac {1}{p}}}};$$

于是对任意的$n>\max\{N_{1},N_{2}\}$我们都有

$$\left(\int _{E}\left|f-f_{n}\right|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\|g\|_{q}<{\dfrac {\varepsilon }{3}}.$$

于是取$A=B\setminus E$，只要$n>\max\{N_{1},N_{2}\}$我们就有

$${\begin{aligned}\int _{X}\left|f_{n}-f\right||g|\mathrm {d} \mu &=\int _{B\setminus E}\left|f_{n}-f\right||g|\mathrm {d} \mu +\int _{X\setminus B}\left|f_{n}-f\right||g|\mathrm {d} \mu +\int _{E}\left|f_{n}-f\right||g|\mathrm {d} \mu \\&<2K{\dfrac {\varepsilon }{6K}}+2K{\dfrac {\varepsilon }{6K}}+{\dfrac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon .\end{aligned}}$$

评注

1. #定理3在$p=r=1$的时候未必成立，考察$([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathcal {L}}^{1})$中的序列：
   $$f_{n}(x)={\begin{cases}n-n^{2}x,&x\in [0,1/n],\\0,&x\in (1/n,1],\end{cases}}$$
2. #定理2对无限测度空间不成立，例如$(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} },{\mathcal {L}}^{1})$中的可测函数序列$\{\chi _{[n,n+1]}\}.$
3. #定理1对$r=p$的情况不成立，例如$([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathcal {L}}^{1})$中的可测函数序列
   $$f_{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt[{r}]{n}},&x\in [0,1/n],\\0,&x\in (1/n,1],\end{cases}}$$

参考资料

1. John J. Benedetto, Real Variable and Integration, Mathematische Leitfäden, Vieweg&Teubner Verlag Wiesbaden, 1976-06-01, ISBN 978-3-5190-2209-1.